本题难点在正确性证明。

令 \(f_i\) 表示 \([1,i]\) 被全部覆盖的最小花费。答案为 \(f_m\)。

首先发现,添加一个区间 \([0,0]\) 不会影响答案。所以 \(f_i\) 的初值可以设为 \(i\)。(这个很重要,没了就不对了!)

转移,如果 \(i\) 已经被某个初始区间完全覆盖了,那么可以从 \(f_{i-1}\) 转移来。

然后枚举每个区间,如果区间的右端点在 \(i\) 左边,计算把这个区间扩张到能恰好覆盖到 \(i\) 后的左端点。也就是从 \(f_{\max(0,l[j]-(i-r[j]))}+i-r[j]\) 转移来。

记下每个区间被扩张成什么样会炸状态,所以直接从初始的区间开始扩张。

时间复杂度 \(O(nm)\)。

开始证明正确性。

首先证明只用考虑被左边的区间覆盖,不需要考虑右边的。

其实被右边的区间覆盖也被考虑过了,不过转移的时候就直接跳过了这些点(在这个被扩张后的区间中)。所以不用管。

接下来证明直接从初始的区间开始扩张就是最优解。

如果需要在被扩张的区间的基础上继续扩张,说明这次扩张到的点 \(i\) 一定在上次扩张到的点 \(j\) 的右边,扩张到 \(i\) 后的区间的左端点一定跳过了 \(j\)。而我们最后要用到的是 \(i\) 的状态(因为需要继续扩张),所以中间这第一次扩张是没有必要的。

所以这种情况不可能发生。

接下来证明恰好扩张到能覆盖 \(i\) 就是最优解,也就是最优解不需要扩张到覆盖超过 \(i\) 一点点。

如果需要扩张更多,一定是因为可以覆盖左边的更多点,让左边的区间更短(不然覆盖到超过 \(i\) 的位置在 \(f_i\) 是完全没有必要的)。

但是由于添加了区间 \([0,0]\)(没错,它的作用就在这),一定有 \(f_{i+1}\le f_i+1\)(因为覆盖到 \(i\) 的区间可以再扩展一格)。

所以跳过区间后的转移点应该是越右越好。也就是不需要扩展到 \(i\) 右边。

于是这个就是对的了。

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. typedef long long ll;
  4. typedef pair<int,int> PII;
  5. const int maxn=100010;
  6. #define MP make_pair
  7. #define PB push_back
  8. #define lson o<<1,l,mid
  9. #define rson o<<1|1,mid+1,r
  10. #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
  11. #define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
  12. #define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
  13. inline ll read(){
  14. char ch=getchar();ll x=0,f=0;
  15. while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
  16. while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
  17. return f?-x:x;
  18. }
  19. int n,m,x[maxn],s[maxn],f[maxn];
  20. int main(){
  21. n=read();m=read();
  22. FOR(i,1,n) x[i]=read(),s[i]=read();
  23. f[0]=0;
  24. FOR(i,1,m){
  25. f[i]=i;
  26. bool flag=false;
  27. FOR(j,1,n) if(x[j]+s[j]>=i && x[j]-s[j]<=i) flag=true;
  28. if(flag) f[i]=f[i-1];
  29. FOR(j,1,n) if(x[j]+s[j]<i) f[i]=min(f[i],f[max(0,2*x[j]-i-1)]+i-(x[j]+s[j]));
  30. }
  31. printf("%d\n",f[m]);
  32. }

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