【模板整合计划】数论数学

一：【数论】

二：【线性代数】

1.【 矩阵快速幂】

【模板】矩阵快速幂 \(\text{[P3390]}\)

#include<cstring>

#include<cstdio>

#define LL long long

#define Re register LL

const int N=103,P=1e9+7;

LL n,K;

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

struct Matrix{

    LL a[N][N];

    Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}

    inline void read(){

        for(Re i=1;i<=n;++i)

            for(Re j=1;j<=n;++j)

                in(a[i][j]);

    }

    inline void print(){

        for(Re i=1;i<=n;puts(""),++i)

            for(Re j=1;j<=n;++j)

                printf("%lld ",a[i][j]);

    }

    inline Matrix operator*(const Matrix &O)const{

        Matrix ans;

        for(Re i=1;i<=n;++i)

            for(Re j=1;j<=n;++j)

                for(Re k=1;k<=n;++k)

                    (ans.a[i][j]+=a[i][k]*O.a[k][j]%P)%=P;

        return ans;

    }

    inline Matrix operator*=(Matrix &O){return *this=*this*O;}

}A;

inline Matrix mi(Matrix x,Re k){

    if(!k)return x;--k;//矩阵的0次方即为单位矩阵

    Matrix s=x;

    while(k){

        if(k&1)s*=x;

        x*=x,k>>=1;

    }

    return s;

}

int main(){

    in(n),in(K),A.read(),mi(A,K).print();

}

2.【高斯消元】

【模板】高斯消元法 \(\text{[P3389]}\)

(1).【高斯消元 (Gauss Elimination)】

不会写这种。

(2).【高斯约旦消元 (Gauss-Jordan Elimination)】

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#define LD double

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=103;

int n;LD eps=1e-8,a[N][N];

inline int dcmp(Re a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}

inline LD Abs(LD a){return dcmp(a)*a;}

inline void in(Re &x){

    Re fu=0;x=0;char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9')fu|=ch=='-',ch=getchar();

    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();

    x=fu?-x:x;

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n);

    for(Re i=1;i<=n;++i)

        for(Re j=1;j<=n+1;++j)

            scanf("%lf",&a[i][j]);

    for(Re j=1;j<=n;++j){

        Re w=j;

        for(Re i=j+1;i<=n;++i)

            if(dcmp(Abs(a[i][j])-Abs(a[w][j]))>0)w=i;

        for(Re k=1;k<=n+1;++k)swap(a[j][k],a[w][k]);

        if(!dcmp(a[j][j]))return !puts("No Solution");

        for(Re i=1;i<=n;++i)

            if(i!=j){

                LD tmp=a[i][j]/a[j][j];

                for(Re k=j;k<=n+1;++k)a[i][k]-=a[j][k]*tmp;

            }

    }

    for(Re i=1;i<=n;++i)printf("%.2lf\n",a[i][n+1]/a[i][i]);

}

3.【线性基】

(1).【线性基】

【模板】线性基 \(\text{[P3812]}\)

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#define LL long long

#define Re register LL

using namespace std;

const int N=55;

LL n,x,ans,p[N];

inline void in(Re &x){

    Re fu=0;x=0;char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9')fu|=ch=='-',ch=getchar();

    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();

    x=fu?-x:x;

}

inline void insert(Re x){

    for(Re i=50;i>=0;--i)

        if((x>>i)&1){

            if(!p[i]){p[i]=x;break;}

            x^=p[i];

        }

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n);

    for(Re i=1;i<=n;++i)in(x),insert(x);

    for(Re i=50;i>=0;--i)ans=max(ans,ans^p[i]);

    printf("%lld\n",ans);

}

(2).【前缀线性基】

【模板】\(\text{Ivan and Burgers}\) \(\text{[CF1100F]}\)

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=5e5+3,logN=20,inf=2e9;

int n,x,y,T;

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

struct JI{

    int p[logN+1],ip[logN+1];JI(){memset(p,0,sizeof(p));}

    inline void insert(Re x,Re id){

        for(Re i=logN;i>=0;--i)

            if((x>>i)&1){

                if(!p[i]){p[i]=x,ip[i]=id;break;}

                if(ip[i]<id)swap(p[i],x),swap(ip[i],id);//注意这里要swap，不能直接赋值

                x^=p[i];

            }

    }

    inline int ask(Re L){

        Re ans=0;

        for(Re i=logN;i>=0;--i)if(ip[i]>=L)ans=max(ans,ans^p[i]);

        return ans;

    }

}A[N],S[N];

int main(){

//    freopen("456.txt","r",stdin);

    in(n);

    for(Re i=1;i<=n;++i)in(x),S[i]=S[i-1],S[i].insert(x,i);

    in(T);

    while(T--)in(x),in(y),printf("%d\n",S[y].ask(x));

}

(3).【线性基合并】

幸运数字 \(\text{[SCOI2016] [P3292]}\)

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<queue>

#define LL long long

#define Re register LL

using namespace std;

const LL N=2e4+3,M=2e5+3,inf=2e18,logN=14;

LL n,m,o,x,y,T,A[N],head[N];

struct QAQ{LL to,next;}a[N<<1];

inline void add(Re x,Re y){a[++o].to=y,a[o].next=head[x],head[x]=o;}

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

struct JI{

    LL p[61];JI(){memset(p,0,sizeof(p));}

    inline void insert(Re x){

        for(Re i=60;i>=0;--i)

            if((x>>i)&1){

                if(!p[i]){p[i]=x;break;}

                x^=p[i];

            }

    }

    inline void merge(JI O){

        for(Re i=60;i>=0;--i)if(O.p[i])insert(O.p[i]);

    }

    inline LL ask(){

        Re ans=0;

        for(Re i=60;i>=0;--i)ans=max(ans,ans^p[i]);

        return ans;

    }

};

struct LCA{

    LL deep[N],fa[N][15],ant[N][15];JI dp[N][15];

    inline void dfs(Re x,Re fa){

        deep[x]=deep[ant[x][0]=fa]+1,dp[x][0].insert(A[fa]);

        for(Re j=1;(1<<j)<=deep[x];++j)ant[x][j]=ant[ant[x][j-1]][j-1],dp[x][j]=dp[x][j-1],dp[x][j].merge(dp[ant[x][j-1]][j-1]);

        for(Re i=head[x];i;i=a[i].next)if(a[i].to!=fa)dfs(a[i].to,x);

    }

    inline JI ask(Re x,Re y){

        JI Ans;Ans.insert(A[x]),Ans.insert(A[y]);

        if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);

        for(Re i=logN;i>=0;--i)if(deep[ant[x][i]]>=deep[y])Ans.merge(dp[x][i]),x=ant[x][i];

        if(x==y)return Ans;

        for(Re i=logN;i>=0;--i)if(ant[x][i]!=ant[y][i])Ans.merge(dp[x][i]),Ans.merge(dp[y][i]),x=ant[x][i],y=ant[y][i];

        Ans.merge(dp[x][0]);

        return Ans;

    }

}T1;

int main(){

//    freopen("lucky.in","r",stdin);

//    freopen("lucky.out","w",stdout);

    in(n),in(T),m=n-1;

    for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);

    while(m--)in(x),in(y),add(x,y),add(y,x);

    T1.dfs(1,0);

    while(T--)in(x),in(y),printf("%lld\n",T1.ask(x,y).ask());

}

三：【组合数学】

1.【组合数】

(1).【递推】

#include<cstdio>

#define R register int

#define LL long long

LL c[1005][1005],a,b;

int main(){

    for(R i=0;i<=1000;i++)c[0][i]=c[i][i]=1;

      for(R i=1;i<=1000;i++)

        for(R j=1;j<i;j++)

            c[j][i]=c[j-1][i-1]+c[j][i-1];

    scanf("%lld%lld",&a,&b);

    printf("%lld\n",c[a][b]);

}

(2).【记搜】

#include<cstdio>

#define LL long long

LL C[1005][1005],a,b;

inline LL cc(LL m,LL n){

    if(m>n)return 0;

    if(!m||m==n)return C[m][n]=1;

    if(C[m][n])return C[m][n];

    return C[m][n]=cc(m,n-1)+cc(m-1,n-1);

}

int main(){

    scanf("%lld%lld",&a,&b);

    printf("%lld\n",cc(a,b));

}

2.【卢卡斯定理 (Lucas)】

【模板】卢卡斯定理 \(\text{[P3807]}\)

#include<cstdio>

#define LL long long

LL a,b,mod,jc[1000005];

LL niv(LL x,LL p){

    LL ans=1,k=p-2;

    while(k){

        if(k&1)ans=(ans*x)%p;

        x=(x*x)%p;k>>=1;

    }

    return ans%p;

}

inline LL c(LL m,LL n,LL p){

    if(n<m)return 0;

    if(n<p)return jc[n]*niv(jc[m],p)%p*niv(jc[n-m],p)%p;

    return c(m/p,n/p,p)*c(m%p,n%p,p)%p;

}

int main(){

    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&mod);

    jc[0]=1;for(LL i=1;i<=1000000;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%mod;

    printf("%lld\n",c(a,b,mod));

}

3.【扩展卢卡斯定理 (ExLucas)】

【模板】扩展卢卡斯 \(\text{[P4720]}\)

还不会，先咕着。

4.【卡特兰数 (Catalan)】

(1).【质因数分解求法 （取模）】

【模板】有趣的数列 \(\text{[HNOI2009] [P3200]}\)

#include<cstdio>

#define LL long long

#define Re register LL

const int N=1e6+3;

LL n,P,cnt,pri[N],pan[N<<1];

inline void get_pri(Re N){

    for(Re i=2;i<=N;++i){

        if(!pan[i])pri[++cnt]=i;

        for(Re j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;++j)pan[i*pri[j]]=1;

    }

}

inline LL Catalan(Re n){

    Re ans=1;cnt=0;get_pri(n<<1);

    for(Re i=1;i<=cnt;i++){

        Re x=pri[i],t=0;

        while(x<=2*n){t+=2*n/x-n/x-(n+1)/x;x*=pri[i];}

        while(t--)(ans*=pri[i])%=P;

    }

    return ans%P;

}

int main(){

    scanf("%lld%lld",&n,&P);

    printf("%lld",Catalan(n));

}

(2).【质因数分解求法 （高精度）】

【模板】火车进出栈问题 \(\text{[CH1102]}\)

#include<cstdio>

#define R register int

int n,t,x,len,ans[100000],pan[120005];

void cf(int x){

    R i,j;

    for(i=1;i<=len;i++)ans[i]*=x;

    len+=6;

    for(i=1;i<=len;i++)ans[i+1]+=ans[i]/10,ans[i]%=10;

    while(!ans[len])len--;

}

int main(){

    scanf("%d",&n);R i,j;len=ans[1]=1;

    for(i=2;i<=2*n;i++)

        if(pan[i]==0){

            x=i;t=0;

            while(x<=2*n){t+=2*n/x-n/x-(n+1)/x;x*=i;}

            while(t--)cf(i);

            for(j=i;j<=2*n/i;j++)pan[i*j]=1;

        }

    for(i=len;i>=1;i--)printf("%d",ans[i]);

}

5.【第一类斯特林数】

(1).【行（两只 log 暴力分治 NTT）】

【模板】第一类斯特林数 ·行 \(\text{[P5408]}\)

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#define LD double

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=262144+3,P=167772161,G=3;

int n,m,invn,invG,tr[N],A[20][N];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline int mi(Re x,Re k){

    Re s=1;

    while(k){

        if(k&1)s=(LL)s*x%P;

        x=(LL)x*x%P,k>>=1;

    }

    return s;

}

inline int inv(Re x){return mi(x,P-2);}

inline void NTT(Re *f,Re n,Re op){

    for(Re i=0;i<n;++i)if(i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);

    for(Re p=2;p<=n;p<<=1)

        for(Re st=0,len=p>>1,w1=mi(op?invG:G,(P-1)/p);st<n;st+=p)

            for(Re i=st,base=1;i<=st+len-1;++i){

                Re tmp=(LL)base*f[i+len]%P;

                f[i+len]=(f[i]-tmp+P)%P,f[i]=(f[i]+tmp)%P,base=(LL)base*w1%P;

            }

}

inline void times(Re *f,Re n,Re *g,Re m){

    Re n_=n,m_=m;

    for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);

    for(Re i=n_+1;i<=n;++i)f[i]=0;//奇怪的初始化

    for(Re i=m_+1;i<=n;++i)g[i]=0;//奇怪的初始化

    for(Re i=1;i<n;++i)tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);

    NTT(f,n,0),NTT(g,n,0);

    for(Re i=0;i<n;++i)f[i]=(LL)f[i]*g[i]%P;

    NTT(f,n,1);

    for(Re i=0,invn=inv(n);i<=m;++i)f[i]=(LL)f[i]*invn%P;

}

inline void CDQ(Re L,Re R,Re deep){

    if(L==R){A[deep][0]=L,A[deep][1]=1;return;}

    Re mid=L+R>>1;

    CDQ(L,mid,deep+1);

    for(Re i=0;i<=mid-L+1;++i)A[deep][i]=A[deep+1][i];//存左边

    CDQ(mid+1,R,deep+1);

    times(A[deep],mid-L+1,A[deep+1],R-mid);//左边乘右边

}

int s[N];

inline void get_Stirling(Re n){

    invG=inv(G),CDQ(0,n-1,0);

    for(Re i=0;i<=n;++i)s[i]=A[0][i];

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n),get_Stirling(n);

    for(Re i=0;i<=n;++i)printf("%d ",s[i]);

}

(2).【行（一只 log 优化分治 NTT）】

【模板】第一类斯特林数 ·行 \(\text{[P5408]}\)

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#define LD double

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=262144+3,P=167772161,G=3;

int n,m,invn,invG,f[N],g[N],h[N],p[N],tr[N],jc[N],invjc[N];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline int mi(Re x,Re k){

    Re s=1;

    while(k){

        if(k&1)s=(LL)s*x%P;

        x=(LL)x*x%P,k>>=1;

    }

    return s;

}

inline int inv(Re x){return mi(x,P-2);}

inline void NTT(Re *f,Re n,Re op){

    for(Re i=0;i<n;++i)if(i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);

    for(Re p=2;p<=n;p<<=1)

        for(Re st=0,len=p>>1,w1=mi(op?invG:G,(P-1)/p);st<n;st+=p)

            for(Re i=st,base=1;i<=st+len-1;++i){

                Re tmp=(LL)base*f[i+len]%P;

                f[i+len]=(f[i]-tmp+P)%P,f[i]=(f[i]+tmp)%P,base=(LL)base*w1%P;

            }

}

inline void times(Re *f,Re n,Re *g,Re m){

    Re n_=n,m_=m;

    for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);

    for(Re i=n_+1;i<=n;++i)f[i]=0;//奇怪的初始化

    for(Re i=m_+1;i<=n;++i)g[i]=0;//奇怪的初始化

    for(Re i=1;i<n;++i)tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);

    NTT(f,n,0),NTT(g,n,0);

    for(Re i=0;i<n;++i)f[i]=(LL)f[i]*g[i]%P;

    NTT(f,n,1);

    for(Re i=0,invn=inv(n);i<=m;++i)f[i]=(LL)f[i]*invn%P;

}

inline void xplus(Re *f,Re *F,Re n,Re c){

    for(Re i=0;i<=n;++i)h[i]=(LL)F[i]*jc[i]%P;

    for(Re i=0,Mi=1;i<=n;++i)p[n-i]=(LL)Mi*invjc[i]%P,Mi=(LL)Mi*c%P;

    times(h,n,p,n);

    for(Re i=0;i<=n;++i)f[i]=(LL)h[n+i]*invjc[i]%P;

}

inline void sakura(Re *f,Re n){

    if(n==1){f[0]=0,f[1]=1;return;}//(x+0)

    if(n&1){

        sakura(f,n-1);

        for(Re i=n;i;--i)f[i]=((LL)f[i]*(n-1)%P+f[i-1])%P;

        f[0]=(LL)f[0]*(n-1)%P;

    }

    else sakura(f,n>>1),xplus(g,f,n>>1,n>>1),times(f,n>>1,g,n>>1);

}

int s[N];

inline void get_Stirling(Re n){

    invjc[1]=invjc[0]=jc[0]=1,invG=inv(G);//注意inv[jc[0]]=1

    if(n==0){s[0]=1;return;}

    for(Re i=1;i<=n;++i)jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%P;

    for(Re i=2;i<=n;++i)invjc[i]=(LL)invjc[P%i]*(P-P/i)%P;

    for(Re i=2;i<=n;++i)invjc[i]=(LL)invjc[i]*invjc[i-1]%P;

    sakura(s,n);

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n),get_Stirling(n);

    for(Re i=0;i<=n;++i)printf("%d ",s[i]);

}

(3).【列】

【模板】第一类斯特林数 ·列 \(\text{[P5409]}\)

还不会，先咕着。

6.【第二类斯特林数】

(1).【行】

【模板】第二类斯特林数 · 行 \(\text{[P5395]}\)

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=524288+3,P=167772161,G=3;

int n,invG,f[N],g[N],tr[N],jc[N];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline int mi(Re x,Re k){

    Re s=1;

    while(k){

        if(k&1)s=(LL)s*x%P;

        x=(LL)x*x%P,k>>=1;

    }

    return s;

}

inline int inv(Re x){return mi(x,P-2);}

inline void NTT(Re *f,Re n,Re op){

    for(Re i=0;i<n;++i)if(i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);

    for(Re p=2;p<=n;p<<=1)

        for(Re st=0,len=p>>1,w1=mi(op?invG:G,(P-1)/p);st<n;st+=p)

            for(Re i=st,base=1;i<=st+len-1;++i){

                Re tmp=(LL)f[i+len]*base%P;

                f[i+len]=(f[i]-tmp+P)%P,(f[i]+=tmp)%=P,base=(LL)base*w1%P;

            }

}

inline void sakura(Re *f,Re n,Re *g,Re m){

    for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);

    for(Re i=1;i<n;++i)tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);

    NTT(f,n,0),NTT(g,n,0);

    for(Re i=0;i<n;++i)f[i]=(LL)f[i]*g[i]%P;

    NTT(f,n,1);

    for(Re i=0,invn=inv(n);i<=m;++i)f[i]=(LL)f[i]*invn%P;

}

int S[N];

inline void get_Stirling(Re n){

    jc[0]=1,invG=inv(G);

    for(Re i=1;i<=n;++i)jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%P;

    for(Re i=0;i<=n;++i)f[i]=(LL)inv(jc[i])*((i&1)?P-1:1)%P,g[i]=(LL)mi(i,n)*inv(jc[i])%P;

    sakura(f,n,g,n);

    for(Re i=0;i<=n;++i)S[i]=f[i];

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n),get_Stirling(n);

    for(Re i=0;i<=n;++i)printf("%d ",S[i]);

}

(2).【列】

【模板】第二类斯特林数 · 列 \(\text{[P5396]}\)

还不会，先咕着。

7.【康托展开】

【模板】康托展开 \(\text{[P5367]}\)

#include<cstdio>

#define LL long long

const int N=1e6+5,P=998244353;

int n,i,ans,a[N],g[N],C[N],jc[N]={1};

inline void add(int x){while(x<=n)++C[x],x+=x&-x;}

inline int ask(int x){

    int ans=0;

    while(x)ans+=C[x],x-=x&-x;

    return ans;

}

int main(){

    scanf("%d",&n);

    for(i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);

    for(i=n;i;--i)g[i]=ask(a[i]-1),add(a[i]);

    for(i=1;i<=n;++i)jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%P;

    for(i=1;i<=n;++i)(ans+=(LL)g[i]*jc[n-i]%P)%=P;

    printf("%d",ans+1);

}

8.【Polya 定理】



【模板】\(\text{Polya}\) 定理 \(\text{[P4980]}\)

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=1e6+3,P=1e9+7;

int n,T,pri[N/3];bool pan[N];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline int mi(Re x,Re k){

    Re s=1;

    while(k){

        if(k&1)s=(LL)s*x%P;

        x=(LL)x*x%P,k>>=1;

    }

    return s;

}

inline int inv(Re x){return mi(x,P-2);}

inline int phi(Re x){

    Re ans=x;

    for(Re i=2;i*i<=x;i++)

        if(x%i==0){

            ans/=i,ans*=i-1;

            while(x%i==0)x/=i;

        }

    if(x>1)ans/=x,ans*=x-1;

    return ans;

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(T);

    while(T--){

        in(n);Re ans=0;

        for(Re i=1;i*i<=n;++i)

            if(n%i==0){

                (ans+=(LL)mi(n,i-1)*phi(n/i)%P)%=P;

                if(i!=n/i)(ans+=(LL)mi(n,n/i-1)*phi(i)%P)%=P;

            }

        printf("%d\n",ans);

    }

}

四：【多项式全家桶】

1.【多项式乘法】

【模板】多项式乘法（\(\text{FFT}\)）\(\text{[P3803]}\)

(1).【快速傅里叶变换 / FFT (Fast Fourier Transform)】

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#define LD double

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=2097152+3;

const LD Pi=acos(-1);

int n,m,tr[N];

inline void in(Re &x){

    Re fu=0;x=0;char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9')fu|=ch=='-',ch=getchar();

    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();

    x=fu?-x:x;

}

struct CP{

    LD x,y;CP(LD X=0,LD Y=0){x=X,y=Y;}

    inline CP operator+(const CP &O)const{return CP(x+O.x,y+O.y);}

    inline CP operator-(const CP &O)const{return CP(x-O.x,y-O.y);}

    inline CP operator*(const CP &O)const{return CP(x*O.x-y*O.y,x*O.y+y*O.x);}//(ac-bd,bc+ad)

    inline CP operator/(const CP &O)const{

        LD tmp=O.x*O.x+O.y*O.y;//tmp=c^2+d^2

        return CP((x*O.x+y*O.y)/tmp,(y*O.x-x*O.y)/tmp);//( (ac+bd)/tmp,(bc-ad)/tmp )

    }

    inline CP operator*=(const CP &O){return *this=*this*O;}

}f[N],g[N];

inline void FFT(CP *f,Re n,Re op){//op=0:DFT, op=1:IDFT

    for(Re i=0;i<n;++i)if(i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);

    for(Re p=2;p<=n;p<<=1){

        Re len=p>>1;CP w1(cos(2*Pi/p),sin(2*Pi/p));

        if(op)w1.y*=-1;

        for(Re st=0;st<n;st+=p){

            CP base(1,0);

            for(Re i=st;i<=st+len-1;++i){

                CP tmp=base*f[len+i];

                f[len+i]=f[i]-tmp,f[i]=f[i]+tmp,base*=w1;

            }

        }

    }

}

inline void times(CP *f,Re n,CP *g,Re m){

    for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);

    for(Re i=1;i<n;++i)tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);

    FFT(f,n,0),FFT(g,n,0);

    for(Re i=0;i<n;++i)f[i]*=g[i];

    FFT(f,n,1);

    for(Re i=0;i<=m;++i)f[i].x/=n;

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n),in(m);

    for(Re i=0;i<=n;++i)scanf("%lf",&f[i].x);

    for(Re i=0;i<=m;++i)scanf("%lf",&g[i].x);

    times(f,n,g,m);

    for(Re i=0;i<=n+m;++i)printf("%d ",(int)(f[i].x+0.5));

}

(2).【快速数论变换 / NTT (Number Theoretic Transform)】

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=2097152+3,P=998244353,G=3;

int n,m,invn,invG,f[N],g[N],tr[N];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline int mi(Re x,Re k){

    Re s=1;

    while(k){

        if(k&1)s=(LL)s*x%P;

        x=(LL)x*x%P,k>>=1;

    }

    return s;

}

inline int inv(Re x){return mi(x,P-2);}

inline void NTT(Re *f,Re n,Re op){

    for(Re i=0;i<n;++i)if(i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);

    for(Re p=2;p<=n;p<<=1){

        Re len=p>>1,w1=mi(op?invG:G,(P-1)/p);

        for(Re st=0;st<n;st+=p)

            for(Re i=st,base=1;i<=st+len-1;++i){

                Re tmp=(LL)base*f[len+i]%P;

                f[len+i]=(f[i]-tmp+P)%P,(f[i]+=tmp)%=P,base=(LL)base*w1%P;

            }

    }

}

inline void times(Re *f,Re n,Re *g,Re m){

    for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);invn=inv(n),invG=inv(G);

    for(Re i=1;i<n;++i)tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);

    NTT(f,n,0),NTT(g,n,0);

    for(Re i=0;i<n;++i)f[i]=(LL)f[i]*g[i]%P;

    NTT(f,n,1);

    for(Re i=0;i<=m;++i)f[i]=(LL)f[i]*invn%P;

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n),in(m);

    for(Re i=0;i<=n;++i)in(f[i]);

    for(Re i=0;i<=m;++i)in(g[i]);

    times(f,n,g,m);

    for(Re i=0;i<=n+m;++i)printf("%d ",f[i]);

}

2.【分治 FFT / NTT】

【模板】分治 \(\text{FFT}\) \(\text{[P4721]}\)

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#define LD double

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=131072+3,P=998244353,G=3;

int n,m,invn,invG,f[N],g[N],A[N],tr[N],ans[N];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline int mi(Re x,Re k){

    Re s=1;

    while(k){

        if(k&1)s=(LL)s*x%P;

        x=(LL)x*x%P,k>>=1;

    }

    return s;

}

inline int inv(Re x){return mi(x,P-2);}

inline void NTT(Re *f,Re n,Re op){

    for(Re i=0;i<n;++i)if(i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);

    for(Re p=2;p<=n;p<<=1){

        Re len=p>>1,w1=mi(op?invG:G,(P-1)/p);

        for(Re st=0;st<n;st+=p)

            for(Re i=st,base=1;i<=st+len-1;++i){

                Re tmp=(LL)base*f[i+len]%P;

                f[i+len]=(f[i]-tmp+P)%P;

                f[i]=(f[i]+tmp)%P;

                base=(LL)base*w1%P;

            }

    }

}

inline void times(Re *f,Re n,Re *g,Re m){

    for(n=1;n<=m;n<<=1);//循环卷积优化

    for(Re i=m+1;i<=n;++i)f[i]=g[i]=0;//初始化

    for(Re i=1;i<n;++i)tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);

    NTT(f,n,0),NTT(g,n,0);

    for(Re i=0;i<n;++i)f[i]=(LL)f[i]*g[i]%P;

    NTT(f,n,1);

    for(Re i=0,invn=inv(n);i<=m;++i)f[i]=(LL)f[i]*invn%P;

}

inline void CDQ(Re L,Re R){

    if(L==R)return;

    Re mid=L+R>>1;CDQ(L,mid);

    for(Re i=L;i<=R;++i)g[i-L]=A[i-L];

    for(Re i=L;i<=mid;++i)f[i-L]=ans[i];

    for(Re i=mid+1;i<=R;++i)f[i-L]=0;

    times(f,mid-L,g,R-L);

    for(Re i=mid+1;i<=R;++i)(ans[i]+=f[i-L])%=P;

    CDQ(mid+1,R);

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n),invG=inv(G);

    for(Re i=1;i<n;++i)in(A[i]);

    ans[0]=1,CDQ(0,n-1);

    for(Re i=0;i<n;++i)printf("%d ",ans[i]);

}

3.【位运算卷积】

(1).【快速沃尔什变换 / FWT (Fast Walsh-Hadamard Transform)】

【模板】快速沃尔什变换（\(\text{FWT}\)）\(\text{[P4717]}\)

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#define LD double

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=131072+3,P=998244353;

int n,m,inv2,A[N],B[N];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline int inv(Re x){

    Re s=1,k=P-2;

    while(k){

        if(k&1)s=(LL)s*x%P;

        x=(LL)x*x%P,k>>=1;

    }

    return s;

}

int id,f[N],g[N];

inline void FWT(Re *f,Re n,Re op){

    for(Re p=2;p<=n;p<<=1)

        for(Re st=1,len=p>>1;st<n;st+=p)

            for(Re j=st;j<=st+len-1;++j)

                if(id==1)(f[j+len]+=(op?P-f[j]:f[j]))%=P;

                else if(id==2)(f[j]+=(op?P-f[j+len]:f[j+len]))%=P;

                else{

                    Re g0=f[j],g1=f[j+len];

                    f[j]=(g0+g1)%P,f[j+len]=(g0-g1+P)%P;

                    if(op)f[j]=(LL)f[j]*inv2%P,f[j+len]=(LL)f[j+len]*inv2%P;

                }

}

inline void sakura(Re *A,Re *B,Re n,Re id_){

    for(Re i=1;i<=n;++i)f[i]=A[i],g[i]=B[i];id=id_;

    FWT(f,n,0),FWT(g,n,0);

    for(Re i=1;i<=n;++i)f[i]=(LL)f[i]*g[i]%P;

    FWT(f,n,1);

    for(Re i=1;i<=n;++i)printf("%d ",f[i]);puts("");

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n),n=(1<<n),inv2=inv(2);

    for(Re i=1;i<=n;++i)in(A[i]);

    for(Re i=1;i<=n;++i)in(B[i]);

    sakura(A,B,n,1),sakura(A,B,n,2),sakura(A,B,n,3);

}

(2).【快速莫比乌斯变换 / FMT (Fast Mobius Transform)】

【模板】子集卷积 \(\text{[P6097]}\)

还不会，先咕着。

4.【子集卷积】

(1).【快速子集变换 / FST (FST Subset Transform)】

还不会，先咕着。

5.【多项式求逆】

还不会，先咕着。

6.【多项式开方】

还不会，先咕着。

7.【多项式除法 / 取模】

还不会，先咕着。

8.【多项式对数函数 / 指数函数】

还不会，先咕着。

9.【多项式牛顿迭代】

还不会，先咕着。

10.【多项式多点求值 / 快速插值】

还不会，先咕着。

11.【多项式三角函数】

还不会，先咕着。

12.【多项式反三角函数】

还不会，先咕着。

13.【常系数齐次线性递推】

还不会，先咕着。

五：【博弈论】

1.【对抗搜索 (最大分数)】

【模板】一双木棋 \(\text{chess [}\) 九省联考 \(\text{2018] [P4363]}\)

(1).【记忆化】

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<map>

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=13,inf=2e9;

int n,m,cnt,h[N],can[N],vis[N][N],A[2][N][N];

map<LL,int>pan;

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline LL Hash(Re op){LL ans=op+1;for(Re i=1;i<=n;++i)ans=ans*11ll+h[i];return ans;}

inline int dfs(Re op){

    if(cnt==n*m)return 0;

    LL H=Hash(op);

    if(pan.find(H)!=pan.end())return pan[H];

    Re ans=op?-inf:inf;

    for(Re i=1,j;i<=n;++i)

        if(h[i]<m&&vis[i][j=h[i]+1]==-1&&h[i-1]>=j){

            vis[i][j]=op,++cnt,++h[i];

            if(op)ans=max(ans,dfs(op^1)+A[op][i][j]);

            else ans=min(ans,dfs(op^1)-A[op][i][j]);

            vis[i][j]=-1,--cnt,--h[i];

        }

    return pan[H]=ans;

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n),in(m);

    for(Re i=1;i<=n;++i)

        for(Re j=1;j<=m;++j)

            in(A[1][i][j]);

    for(Re i=1;i<=n;++i)

        for(Re j=1;j<=m;++j)

            in(A[0][i][j]);

    memset(vis,-1,sizeof(vis));

    h[0]=inf;

    printf("%d\n",dfs(1));

}

(2).【Alpha-Beta 剪枝】

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=13,inf=2e9;

int n,m,cnt,h[N],can[N],vis[N][N],A[2][N][N];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline int findmin(Re alpha,Re op);

inline int findmax(Re beta,Re op);

inline int findmin(Re alpha,Re op){

    if(cnt==n*m)return 0;

    Re ans=inf;

    for(Re i=1,j;i<=n;++i)

        if(h[i]<m&&vis[i][j=h[i]+1]==-1&&h[i-1]>=j){

            vis[i][j]=op,++cnt,++h[i];

            ans=min(ans,-A[op][i][j]+findmax(ans+A[op][i][j],op^1));

            vis[i][j]=-1,--cnt,--h[i];

            if(ans<=alpha)return ans;

        }

    return ans;

}

inline int findmax(Re beta,Re op){

    if(cnt==n*m)return 0;

    Re ans=-inf;

    for(Re i=1,j;i<=n;++i)

        if(h[i]<m&&vis[i][j=h[i]+1]==-1&&h[i-1]>=j){

            vis[i][j]=op,++cnt,++h[i];

            ans=max(ans,A[op][i][j]+findmin(ans-A[op][i][j],op^1));

            vis[i][j]=-1,--cnt,--h[i];

            if(ans>=beta)return ans;

        }

    return ans;

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    in(n),in(m);

    for(Re i=1;i<=n;++i)

        for(Re j=1;j<=m;++j)

            in(A[1][i][j]);

    for(Re i=1;i<=n;++i)

        for(Re j=1;j<=m;++j)

            in(A[0][i][j]);

    memset(vis,-1,sizeof(vis));

    h[0]=inf;

    printf("%d\n",findmax(inf,1));

}

2.【对抗搜索 (胜负)】

\(\text{Find the Winning Move [UVA10111]}\)

(1).【Alpha-Beta 剪枝】

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#define LL long long

#define Re register int

using namespace std;

const int N=6,inf=2e9;

int n=4,cnt,ansX,ansY,A[N][N];char op[5],s[N];

inline void in(Re &x){

    int f=0;x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    x=f?-x:x;

}

inline int check(Re op){//检查op是否胜利

    for(Re i=1;i<=n;++i){

        Re cnt1=0,cnt2=0;//行、列

        for(Re j=1;j<=n;++j)cnt1+=(A[i][j]==op),cnt2+=(A[j][i]==op);

        if(cnt1==4||cnt2==4)return 1;

    }

    Re cnt1=0,cnt2=0;//对角线

    for(Re i=1;i<=n;++i)cnt1+=(A[i][i]==op),cnt2+=(A[i][n-i+1]==op);

    if(cnt1==4||cnt2==4)return 1;

    return 0;

}

inline int findmin(Re alpha,Re op);//[op=0:对手的回合]

inline int findmax(Re beta,Re op);//[op=1:我的回合]

inline int findmin(Re alpha,Re op){//对手想让我尽量小（对手想让我输）

    if(cnt==16)return 0;//和棋

    if(check(op^1))return inf;//我达到最大分数（我连成了，我赢）

    Re ans=inf;//准备一个最坏情况（对于对手来说）

    for(Re i=1;i<=n;++i)

        for(Re j=1;j<=n;++j)

            if(A[i][j]==-1){

                A[i][j]=op,++cnt;

                ans=min(ans,findmax(ans,op^1));//在我的完美策略（让我尽量大）中取一个最小的

                A[i][j]=-1,--cnt;

                if(ans<=alpha)return ans;

                //如果当前算出来的最小已经超过了下限alpha（超过了上一层的findmax中已算出的最大）

                //那么继续做下去的话也一定不会对上一层的findmax产生贡献了

            }

    return ans;

}

inline int findmax(Re beta,Re op){//我想尽量大（我想让我赢）

    if(cnt==16)return 0;//和棋

    if(check(op^1))return -inf;//我达到最小分数（对手连成了，我输）

    Re ans=-inf;//准备一个最坏情况（对于我来说）

    for(Re i=1;i<=n;++i)

        for(Re j=1;j<=n;++j)

            if(A[i][j]==-1){

                A[i][j]=op,++cnt;

                ans=max(ans,findmin(ans,op^1));//在对手的完美策略（让我尽量小）中取一个最大的

                A[i][j]=-1,--cnt;

                ansX=i,ansY=j;//本题的特殊性：记录第一步选择的位置

                if(ans>=beta)return ans;

                //如果当前算出来的最大已经超过了上限beta（超过了上一层的findmin中已算出的最小）

                //那么继续做下去的话也一定不会对上一层的findmin产生贡献了

            }

    return ans;

}

int main(){

//    freopen("123.txt","r",stdin);

    while(~scanf("%s",op)&&op[0]!='$'){

        cnt=0;

        for(Re i=1;i<=n;++i){

            scanf("%s",s+1);

            for(Re j=1;j<=n;++j)

                if(s[j]=='.')A[i][j]=-1,++cnt;

                else A[i][j]=(s[j]=='x');

        }

        if(cnt<=4)puts("#####");//当已有棋子不足4个时必定和局

        else if(findmax(inf,1)==inf)printf("(%d,%d)\n",ansX-1,ansY-1);//我达到最大（我赢）

        else puts("#####");//我达到最小（我输）

    }

}

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