代数&数论趣题集萃

暑假总不能只学习平面几何。所以这里也收集一些有趣的代数题或数论题，同时记下解法的一些提示。给未来的自己复习参考用。

多图片预警（请注意流量）

目录：

Part 0：其他(8)

Part 1：不等式(10)

Part 2：Gauss 函数(10)

Part 3：反证法(4)

Part 0：其他

1、

关键词：定义有效的势能函数。

2、

关键词：一定要相信是存在的！中国剩余定理。

3、

关键词：从特殊到一般。Sigma，Average。

4、

（IMO2019第1题）

关键词：特殊点值；不停凑式子！

5、（这里混入一个图论题）

（IMO2019第3题）

关键词：度数奇偶性；按一定规则调整；Oier怎能不会图论

6、

（IMO2019第4题）

关键词：求范围后枚举

7、

（IMO2019第5题）

关键词：树状图；数学归纳；数列

8、

（USAMO2019 Problem 1）

关键词：数归，奇偶

Part 1：不等式

1、

关键词：三角换元

2、

方法一（朴素做法）：基本不等式或函数思想

方法二（三角换元）

3、

关键词：三角换元，求导

4、

已知 a,b,c ≥ 0, ab+bc+ac=1, 求 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)的最小值。

关键词：调整法

 

 

5、

关键词：特殊值，通分

6、

关键词：基本不等式

7、

若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a²b(a-b)+b²c(b-c)+c²a(c-a) ≥ 0。

关键词：换元，消除三角形约束。

8、

关键词：基本不等式降次

9、

用排序不等式证明几何平均值<=算术平均值

关键词：先证几何平均值为1。

10、

关键词：先猜后证

方法一：齐次后基本不等式

方法二：调整法，分情况讨论

11、

关键词：图像法或基本不等式

Part 2：Gauss 函数（下取整函数）（from 中等数学 2011.8）

1、

关键词：换元，不等约束，最大公约数。

2、

关键词：质因数分解，完全剩余系（or 威尔逊定理）。

3、

关键词：[x]与{x}转换，分子有理化。

4、

关键词：同上题。

5、

关键词：lucas定理。

（题解即用高斯函数证明了lucas）

6、

（Oier用二进制证起来舒适啊）

证法一：二进制

证法二：Gauss函数的意义

（喊一句666！）

7、

关键词：Gauss函数的意义

（在寻梦圆度假时间想了一天这题。。灵感迸发时却发现异常简单。）

（是我太不熟练了！）

8、

关键词：先猜后证

9、

关键词：凑整

10、

关键词：二进制

Part 3：反证法（from 中等数学 2011.9）

虽然下面的题目的精髓基本不在反证法。

就当成是披着反证法外衣的杂题集吧

1、

关键词：无

2、

关键词：反证法，质因子

3、

未解决……

4、

未解决……

5、

关键词：同余方程。费马小定理。