【LeetCode】寻找两个有序数组的中位数【性质分析+二分】

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays

分析：

m为数组A元素数量

n为数组B元素数量

通过上图我们可以得知：

1.在合并后的大数组中，中位数的作用就是把数组分成元素数量相同的两部分，这两部分的元素是连续的，并且右侧的元素大于等于或者左侧的元素（也就是橙色元素大于或者等于绿色元素）

2.大数组中的元素不是来自于数组A就是来自于数组B，也就是说，数组A和数组B肯定是由分割线两侧的元素混合构成的（先不考虑特殊情况），由于他们都是有序数组，那么数组A和数组B中肯定也存在两条这样的分割线i和j，我们只需要在A数组和B数组中找到确切的i分割线和j分割线的位置，就可以确定大数组中分割线的位置，从而就可以确定中位数的位置

3.那么怎么寻找合适的i和j呢？

i和j满足的要求：i+j=(n+m+1)/2   （+1是为了保证元素总数量无论是奇数还是偶数该公式都成立）

根据公式知道，i和j只要确定了一个，另外一个也就确定了，所以我们只需要在数组A中寻找合适的i，那什么样的i才是合适的i呢？

合适的i和j必须要满足以下要求：

1）A[i]>=B[j-1]

2）B[j]>=A[i-1]

也就是保证所有橙色元素都大于或者等于绿色元素，换句话说就是为了保证大数组中右侧元素都大于或者等于左侧元素，只有这样的i和j才是合适的，才可以根据i和j确定大数组中位数的位置

那么当i和j不合适时，我们应该怎么调整呢？我们调整i，j也会随着变化，所有我只对i进行调整就好

当A[i]<B[j-1]时：说明i太小了，i应该右移

当B[j]<A[i-1]时：说明i太大了，i应该左移

我们可以通过二分的方式来移动i

当找到合适的i和j后

如果总元素数量为奇数，那么左侧最大元素max（A[i-1],B[j-1]）就是中位数

如果总元素数量为偶数，那么左侧最大元素和右侧最小元素的平均值就是中位数

ps:右侧最小元素=min（A[i],B[j]）

需要处理几种特殊情况：

1）如果B元素数量比A元素数量少的话，通过i得到的j值在数组B中可能会越界

解决方案：如果数组A的元素数量比数组B的元素数量多，那么交换A，B数组的元素，也就是说，i是在数组元素数量少的数组上移动的，这样通过i得到的j值在B数组肯定不会越界

2）i等于0的情况

这种情况下，i-1会越界，那么左侧的最大元素为B[j-1]就好

3）j等于0的情况

这种情况下，j-1会越界，那么左侧的最大元素为A[i-1]就好

4）i等于m的情况

这种情况下，A[m]元素取不到，也越界了，那么右侧最小元素为B[j]就好

5）j等于n的情况

这种情况下，B[j]元素取不到，也越界了，那么右侧最小元素为A[i]就好

时间复杂度分析：对A数组进行二分寻找合适的i，又因为A数组是元素数量最少的数组，所以该算法的时间复杂度为：O(log (min(m,n)))

空间复杂度：O（1）

另外一篇也很不错的博文：https://mp.weixin.qq.com/s/OE4lHO8-jOIxIfWO_1oNpQ

code：

double findMedianSortedArrays(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
    int m=A.size();
    int n=B.size();
    if(m>n)//i指向A数组，A为短数组可以避免j越界
    {
       swap(A,B);
       swap(n,m);
    }
    int low=;
    int high=m;
    int k=(m+n+)/;
    while(low<=high)//二分A数组
    {
        int i=(low+high)/;//i指向A数组
        int j=k-i;//j指向B数组
        if(i<high&&A[i]<B[j-])//i太小，i需要右移
        {
            low=i+;
        }else if(i>low&&A[i-]>B[j])//i太大，i需要左移
        {
            high=i-;
        }else//找到了合格的i，j
        {
            int maxleft;
            //特殊情况
            if(i==)
            {
                maxleft=B[j-];
            }else if(j==)
            {
                maxleft=A[i-];
            }else
            {
                maxleft=max(A[i-],B[j-]);//获得左侧最大值
            }
            if((m+n)%==)//如果两个数组的元素数量为奇数，那么左侧的最大值就是中位数
                return maxleft*1.0;
            int minright;
            //特殊情况
            if(i==m)
            {
                minright=B[j];
            }else if(j==n)
            {
                minright=A[i];
            }else
            {
                minright=min(A[i],B[j]);//获得右侧最小值
            }
            return (maxleft+minright)/2.0;//元素总数量为偶数，那么中位数等于左侧最大值和右侧最小值的平均值
        }
    }
    return 0.0;
}

 

另外一种时间复杂度稍微差点的方法

将求中位数转化为求第k大数，当k=（m+n+1）/2时，为原问题的解，那么怎么求两个数组的第k大数呢？

分别求出A数组和B数组的第k/2个数x和y，然后比较x，y

当x<y时，说明第k个数位于A数组的第k/2个数的后半段

当x>y时，说明第k个数位于B数组的第k/2个数的前半段

问题规模缩小了一般，然后递归处理就行了（特殊情况的细节没有说明，这里只讲解一下大概思路，因为该方法时间复杂度较高，为O(log(m+n))

具体请参考：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/solution/zhen-zheng-ologmnde-jie-fa-na-xie-shuo-gui-bing-pa/