【区间DP+好题】String painter

https://www.bnuoj.com/v3/contest_show.php?cid=9149#problem/G

【题意】

给定两个长度相同的字符串A，B。每次操作都能把A中的任意一个子段变成相同的字符，问最少操作多少次A能变成B？

【思路】

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dp[i][j]表示i-j区间内的最少次数

先操作第二个字符串，我们先假设第i个字符的位置需要喷刷一次，对于所有的dp[i][j]=dp[i+1][j]+1、

在i-j区间内，如果有第k个跟第i个相同，那么就可以将i-j区间借助k分成两部分dp[i][j]=min(dp[i+1][k]+dp[k+1][j]);

处理完第2个字符串后，我们就要看第一个字符串究竟需要喷刷多少次了，用ans[i]记录0-i区间第二个字符串得出的喷刷次数，如果第一个字符串的i位置与第二个字符串的i位置相同，那么这个位置就不用喷刷了，ans[i]=ans[i-1],如果不相同，就要就要借助一个位于o-i区间内的变量来分割开。

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对于dp[i][j] 来说最差的就是1+dp[i+1][j]咯，那怎么减少呢。。。 如果(i,j]里面也有个k使得b[i] == b[k]那么得话， 可以刷[i,k]这么长的一段，那么就有可能减少1.  但是存在问题，如果有一段跨越了k怎么办。。。 嗯，这个问题是不会出现的， 因为在[i,k]刷了b[i].如果跨越了k那么之前在b[k]刷的颜色就没了，所以是不允许有跨段的， 所以要写成&&想写成 dp[i][j] = dp[i+1][k] + dp[k+1][j]。 为什么不可以跨段 可以思考  BRBR 。 然后后来的那个  一段 要么是可以分段刷的，要么是不可以分段刷的。-

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先计算出空串涂成b串的代价，用dp[i][j]存储区间[i, j]涂成和b串一样的最小代价。

因为字符都不相同，那么代价的优化点就在于b串中相同的字符。

dp[i][j] = min(dp[i+1][j]+1, dp[i+1][k]+dp[k+1][j]); (i+1<=k<=j && b[k] == b[i])

b[i]可以在涂区间[i+1, k]时顺带涂上。  处理时需要注意边界。

整理我们已经有的信息dp[i][j]，把空串变成b[i] - b[j]的字符串所需的最小代价。

设置ans[i]为a[0] - a[i]的字符串变成b[0] - b[i]所需的最小代价。

则状态转移：

a[i] == b[i]   ans[i] = ans[i-1];

a[i] != b[i]   ans[i] = min(ans[i], ans[j] + dp[j+1][i]); 把区间[j+1, i]当做空串来处理。

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例如zzzzzfzzzzz，长度为11，我们就将下标看做0~10

先将0~10刷一次，变成aaaaaaaaaaa

1~9刷一次，abbbbbbbbba

2~8:abcccccccba

3~7:abcdddddcba

4~6:abcdeeedcab

5:abcdefedcab

这样就6次，变成了s2串了

第二个样例也一样

先将0~10刷一次，变成ccccccccccb

1~9刷一次，cdddddddddcb

2~8:cdcccccccdcb

3~7:cdcdddddcdcb

4~6:cdcdcccdcdcb

5:cdcdcdcdcdcb

最后竟串尾未处理的刷一次

就变成了串2cdcdcdcdcdcd

所以一共7次

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【Accepted】

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<string>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 using namespace std;
 const int maxn=1e5+;
 const int maxm=1e6;
 const int inf=0x3f3f3f3f;

 struct Edge
 {
     int to,next,cap,flow;
 }edge[maxm];
 int tol;
 int head[maxn];
 int gap[maxn],dep[maxn],pre[maxn],cur[maxn];
 int num[];
 void init()
 {
     tol=;
     memset(head,-,sizeof(head));
     memset(num,,sizeof(num));
 }

 void addedge(int u,int v,int w,int rw=)
 {
     edge[tol].to=v;
     edge[tol].cap=w;
     edge[tol].next=head[u];
     edge[tol].flow=;
     head[u]=tol++;
     edge[tol].to=u;
     edge[tol].cap=rw;
     edge[tol].next=head[v];
     edge[tol].flow=;
     head[v]=tol++;
 }

 int sap(int start,int end,int N)
 {
     memset(gap,,sizeof(gap));
     memset(dep,,sizeof(dep));
     memcpy(cur,head,sizeof(head));
     int u=start;
     pre[u]=-;
     gap[]=N;
     int ans=;
     while(dep[start]<N)
     {
         if(u==end)
         {
             int Min=inf;
             for(int i=pre[u];i!=-;i=pre[edge[i^].to])
             {
                 if(Min>edge[i].cap-edge[i].flow)
                 {
                     Min=edge[i].cap-edge[i].flow;
                 }
             }
             for(int i=pre[u];i!=-;i=pre[edge[i^].to])
             {
                 edge[i].flow+=Min;
                 edge[i^].flow-=Min;
             }
             u=start;
             ans+=Min;
             continue;
         }
         bool flag=false;
         int v;
         for(int i=cur[u];i!=-;i=edge[i].next)
         {
             v=edge[i].to;
             if(edge[i].cap-edge[i].flow&&dep[v]+==dep[u])
             {
                 flag=true;
                 cur[u]=pre[v]=i;
                 break;
             }
         }
         if(flag)
         {
             u=v;
             continue;
         }
         int Min=N;
         for(int i=head[u];i!=-;i=edge[i].next)
         {
             if(edge[i].cap-edge[i].flow&&dep[edge[i].to]<Min)
             {
                 Min=dep[edge[i].to];
                 cur[u]=i;
             }
         }
         gap[dep[u]]--;
         if(!gap[dep[u]])
         {
             return ans;
         }
         dep[u]=Min+;
         gap[dep[u]]++;
         if(u!=start)
         {
             u=edge[pre[u]^].to;
         }
     }
     return ans;
 }
 int a[maxn];
 int n,m;
 int bit[];

 int main()
 {
     bit[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         bit[i]=bit[i-]*;
     }
     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
     {
         init();
         int x;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             int temp=;
             for(int k=;k<m;k++)
             {
                 scanf("%d",&x);
                 if(x==)
                 {
                     temp+=bit[k];
                 }
             }
             num[temp]++;
         }
         int people=-inf;
         for(int i=;i>=;i--)
         {
             if(num[i])
             {
                 people=i;
                 break;
             }
         }
         int planet=people+;
         for(int i=;i<=;i++)
         {
             if(num[i]==)
             {
                 continue;
             }
             addedge(,i,num[i]);
             for(int k=;k<m;k++)
             {
                 if(i&(<<k))
                 {
                     addedge(i,planet+k,num[i]);
                 }
             }
         }
         for(int i=planet;i<planet+m;i++)
         {
             scanf("%d",&a[i]);
             addedge(i,planet+m,a[i]);
         }

         if(num[])
         {
             puts("NO");
             continue;
         }
         int res=sap(,planet+m,planet+m+);
         if(res==n)
         {
             puts("YES");
         }
         else
         {
             puts("NO");
         }
         getchar();
     }
     return ;
 }