2020.02.01【NOIP提高组】模拟B 组总结反思——数列（sequence） 树 【2012东莞市选】时间流逝 挖掘机技术哪家强

T1 数列（sequence）

比赛时

我自以为是地打了简简单单一个判断～～～

之后

Waiting……

T2 2753. 树（tree）

比赛时

这题我居然比赛时也想了很久，可能是因为我太懒，我很早意识到lca的思想可以做，但是我还是想有什么办法更简单，如一个玄学的DFS、诡异的树形DP（显然时间会炸），浪费了我很多时间，最终我没有想到。我就来讲讲lca的做法吧，由于路径中节点的深度必须是升序的，可以知道一条路径，它的起点必定是终点的祖先，符合lca。\(n \leq 100000\)，那么枚举终点，设两个数组：\(fa[i][j]\)表示编号为i的节点向上跳\(2^j\)次的节点，\(a[i][j]\)表示编号为i的节点向上跳\(2^j\)次途中遇到的节点价值总和。原汁原味的lca判断的是深度，这里改一改就可以了，设变量\(sum=b[x]\)（x表示终点），每次向上跳时判断\(sum+a[x][j] < s\)，跳的时候加一下就可以了。时间复杂度为\(O(20n)\)，显然这个20非常小，可以不写。

之后

有同学用了暴力居然都过了，这卡常居然能过，不公平呀，数据也太水了吧。

总结

不能太懒，想到一个AC的方法，如果在短时间内没有想到更简单的方法，则打。

T3 2754. 【2012东莞市选】时间流逝（flow）

比赛时

一看到概率，我就几乎想放弃，我不知道因为概率的存在期望天数怎么算（但其实很简单，我太蒟了～～）

之后

没有之后～～～没几个人做对，听不懂。

T4 3858. 挖掘机技术哪家强 shoberu

题目描述

给出n，求出n的每个因数x的难挖指数的和，难挖指数是所有与x互质的数y的和（包括1，\(1 \leq y \leq x\)）

比赛时

一看到这是偏数学题，就泄了气。n太大了，1000000000，而且多组数据，1000组。我就想，可以枚举x，时间复杂度约为\(O(3000)\)，那么处理x的难挖指数的时间复杂度最多用\(O(10)\)，没有想到高效求的方法。想来想去，并没有想到什么规律。放弃～

之后

正解：欧拉函数，可惜我还没学。欧拉函数可以求出对于一个x，y有多少个，和本题题意极其相似。我们发现：对于一个x，y总是成对出现（证明是显然的，若 p 与 x 互质，那么p 与 x-p 也互质。我们把 p 与 x-p 结成一对），且一对和为x；如\(x=14\),y有\(1,3,5,9,11,13\)，每组和都\(=x\)。于是我们可以用欧拉函数求出x的y有多少个，就可以求出难挖指数是多少，一个x时间复杂度为\(O(\log n)\)，常数级别，那么整个的时间复杂度为\(O(t \sqrt{n})\)，完全可以过，注意有特殊情况：x=1,x=2。

#include<cstdio>
int t,n;
long long ans;
inline int euler(int x){
	int ans=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i==0) ans-=ans/i;
		while(x%i==0) x/=i;
	}
	if(x>1) ans-=ans/x;
	return ans;
}
inline long long func(int x){
	if(x==1||x==2){
		return 1;
	}else{
		int g=euler(x);
		return (long long)g*x/2;
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	for(int l=0;l<t;l++){
		scanf("%d",&n);
		ans=0;
		for(int i=1;i*i<=n;i++)
			if(n%i==0){
				ans+=func(i);
				if(n/i!=i) ans+=func(n/i);
			}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}