【牛客小白月赛21】NC201605 Bits

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题目描述

Nancy喜欢做游戏！

汉诺塔是一个神奇的游戏，神奇在哪里呢？

给出3根柱子，最开始时n个盘子按照大小被置于最左的柱子。

如果盘子数为偶数，则需要将她们全部移动到最右侧的柱子上，否则将她们移动到中间的柱子上。

那么，Nancy该怎样移动呢？请你输出汉诺塔游戏的过程叭！

输入描述:

共一行：一个整数n

输出描述:

共2^n组：每组n+2行，每行3×(2n+1)+4个字符，用.表示空白区域，用|表示柱子区域，用*表示盘子。组与组之间请输出3×(2n+1)+4个-。

具体输出方式请参看样例进行理解。

输入：2

输出：

...................
...|.....|.....|...
..***....|.....|...
.*****...|.....|...
-------------------
...................
...|.....|.....|...
...|.....|.....|...
.*****..***....|...
-------------------
...................
...|.....|.....|...
...|.....|.....|...
...|....***..*****.
-------------------
...................
...|.....|.....|...
...|.....|....***..
...|.....|...*****.

解析

方法一：

一不小心拿了个运行时间最快qwq（8ms）（截至2020-01-28）

在别的题解中看到用二进制来解汉诺塔问题这个视频，又看大多数人都是用递归写的，便想试一试二进制做法。这个视频说的就是汉诺塔与二进制的关系（从视频的第6分钟开始）。

我对这个视频的大致理解就是，在二进制中，比如想从0000加到1111(其实就是f[n])，那就要先加111步(其实就是f[n-1])到0111，再加1步得1000，再加111步到1111，这与汉诺塔的递归策略很相似，想移动n个盘必须先用f[n-1]步移动n-1个到第二个柱，再用1步把第n个移到第三个柱，最后再用f[n-1]步移动n-1个到第三个柱，这显然是最优解，没有任何步数的浪费（其实这就得出了汉诺塔的递推式：f[n]=f[n-1]*2+1）。

所以根据这种二进制与汉诺塔的相似性，我们完全可以通过枚举二进制来模拟汉诺塔的移动，如有n个盘，那我们就要从1枚举到2^{n-1（即n位二进制1，其实n盘汉诺塔的最少移动次数f[n]就等于2}n-1），对于每个数，我们看它最后一个1在第几位，如在第num位，也就是该移动第num

个盘了，就把编号为n的盘向右移动到下一个可行的柱子（柱子3的下一个柱子是柱子1）上。

你想操作二进制第n位的1，必须等第n位后没有1，也就是要把后面的1消除，这与汉诺塔的最优解规律是一致的：如果你想移动第n个盘，必须等这个盘子上没有其他盘，也就是移去上面的盘，所以这种移动的二进制规律肯定是最优解。

掌握了这个思路，接下来就是耐心考虑怎么输出图案了qwq

#include<math.h>
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
int t[3][12],count[3],n,m,width;
//t[i][j]存储第i号柱的第j层的盘的编号（柱从0开始编号），count是柱上的盘子数，width=2*n+1，即最大盘的宽度
int order[6]= {0,1,2,0,1,2},number[11];
//order是塔的顺序，由于要向右移动到下一个可行的柱子上，柱子编号超过2要回到编号0，number[i]是编号为i的盘所在的柱子
string _begin,_str,str;
//_begin是每组图形的开头部分，_str是“...|.....|.....|...”，str用于输出每行的实际情况
inline void print() {
    for (int floor=n,pos,len;floor;floor--){//从第n层向下依次输出
        str=_str;//初始化为“...|.....|.....|...”
        for (int i=0;i<3;i++){//画上每个柱此层的盘子
            if (count[i]>=floor){//如果有盘子
                len=2*t[i][floor]+1;//盘子宽
                pos=width*i+i+1+(width-len)/2;//画盘子的起始位置，width最大盘的宽度，即柱子间的距离，注意柱子间还会多空出一位
                for (int j=pos+1;j<=pos+len;j++)
                    str[j-1]='*';//画上盘子，由于是字符串，j减1
            }
        }
        cout<<str<<"\n";
    }
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
 
    cin>>n,m=6*n+7;//m是行的长度
 
    for (int i=1; i<=n; i++) t[0][i]=n-i+1;
    count[0]=n;//把n个盘放在第0个柱上

    for (int i=0; i<m; i++) _begin+='.',_str+='.';
    width=2*n+1;
    _str[width/2+1]=_str[width+2+width/2]=_str[width*2+3+width/2]='|';//画上中间的“|”
    _begin+="\n"+_str+"\n";

    cout<<_begin;
    //这里的begin是“................... ...|.....|.....|...”两行，第一行没有“-------------------”
    print();//输出第一组图形

    string tmp;
    for (int i=0; i<m; i++) tmp+='-';
    _begin=tmp+"\n"+_begin;
    //这里的begin是“------------------- ................... ...|.....|.....|...”三行

    for (register int i=1,lim=(1<<n); i<lim; i++) {//从1枚举到2^n-1
        int num=log2(i&-i)+1,_number=number[num];//i&-i是最后一位1加上后面的0所表示的数，用log2求出它的二进制位数，num即是要移动的盘子编号，_number是此盘所在柱子
        cout<<_begin;
        for (int j=1,k; j<3; j++) {//寻找移动到哪一个柱子上
            k=order[_number+j];//k是柱子的编号
            if (t[k][count[k]]>num || !count[k]) {//如果柱上最后一个盘大于num或柱上没有盘，则可行
                number[num]=k,t[k][++count[k]]=num;
                count[_number]--;//移动盘子，更新信息
                break;
            }
        }
        print();
    }
}

此外还有个小细节，就是用这种二进制规律做出来的结果正好符合题目要求：“如果盘子数为偶数，则需要将它们全部移动到最右侧的柱子上，否则将它们移动到中间的柱子上。”可是如果题目要求变换一下（比如把“偶数”换成“奇数”），对于递归做法很好改，但这个做法是不是还行呢？

然而，强大的二进制规律告诉我们：照样可以，只要把第50行换为“for (int j=2,k; j>0; j--)”，即从左开始找即可。

方法二：

由于菜鸡我没怎么写过汉诺塔递归，想试试大家喜闻乐见的递归写法qwq

一不小心又拿了个运行时间最快qwq（8ms）（截至2020-01-28）（逃

只要稍微改动一下即可，关于字符串输出和print()的注释请参照方法一

#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
int t[3][12],count[3],n,m,width;
string _begin,_str,str;
inline void print() {
    for (int floor=n,pos,len;floor;floor--){
        str=_str;
        for (int i=0;i<3;i++){
            if (count[i]>=floor){
                len=2*t[i][floor]+1;
                pos=width*i+i+1+(width-len)/2;
                for (int j=pos+1;j<=pos+len;j++)
                    str[j-1]='*';
            }
        }
        cout<<str<<"\n";
    }
}

inline void move(int a,int b){//从a柱移动一个到b柱
    t[b][++count[b]]=t[a][count[a]--];
    cout<<_begin;
    print();
}

void hanoi(int a,int b,int x){//从a柱移动x个到b柱
    if (x==1) {
        move(a,b);
        return;
    }
    hanoi(a,3-a-b,x-1);//3-a-b是中转柱，注意柱子编号从0开始
    move(a,b);
    hanoi(3-a-b,b,x-1);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin>>n,m=6*n+7;

    for (int i=1; i<=n; i++) t[0][i]=n-i+1;
    count[0]=n;

    for (int i=0; i<m; i++) _begin+='.',_str+='.';
    width=2*n+1;
    _str[width/2+1]=_str[width+2+width/2]=_str[width*2+3+width/2]='|';
    _begin+="\n"+_str+"\n";

    cout<<_begin;
    print();
    string tmp;
    for (int i=0; i<m; i++) tmp+='-';
    _begin=tmp+"\n"+_begin;

    n&1 ? hanoi(0,1,n):hanoi(0,2,n);//如果盘子数为偶数，则需要将它们全部移动到最右侧的柱子上，否则将它们移动到中间的柱子上。
}

如果各位大佬有更好的理解或想法，欢迎提出改进和建议qwq！