对cost函数的概率解释
Likehood函数即似然函数,是概率统计中经常用到的一种函数,其原理网上很容易找到,这里就不讲了。这篇博文主要讲解Likelihood对回归模型的Probabilistic interpretation。
在我们的回归模型中由于其他因素的影响我们的预测函数为:
其中 为影响预测的其他因素或者说噪声,我们假设这些噪声IID,我们知道随机独立同分布的噪声服从Gaussian distribution,
则:
This implies that:
那么现在的问题转换为这样的:Given X (the design matrix, which contains all the x(i)’s) and θ, what is the distribution of the y(i)’s? 怎样来解决这个问题,我们想到了概率论里面的最大似然函数(Maximum likelihood),极大似然函数就是寻求参数的估计值 使得在给定的样本下,联合概率达到最大。其求解过程是这样的,令:
The principal of maximum likelihood says that we should should choose θ so as to make the data as high probability as possible. I.e., we should choose θ
to maximize L(θ). Instead of maximizing L(θ), we can also maximize any strictly increasing function of L(θ). In particular, the derivations will be a bit simpler if we instead maximize the log likelihood ℓ(θ):
Hence,我们只要minimizing 式子 就可以minimizing
,到这里大家看这个式子就可以知道了 Linear Regression中的cost函数
的由来了吧。所以说数学这东西真的是奥妙无穷,世界上任何想当然的东西都可以用数学来证明,大家好好领会吧!!
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