Laplacian算子

多元函数的二阶导数又称为Laplacian算子:

\[
\triangledown f(x, y) = \frac {\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 f}{\partial y^2}
\]

对于图像上的离散\(f(x, y)\):

\[
\triangledown f(x, y) = f(x + 1, y) + f(x - 1,y) - 2 f(x,y) + f(x, y + 1) + f(x, y -1) - 2 f(x, y) \\= f(x + 1, y) + f(x - 1,y) + f(x, y + 1) + f(x, y -1) - 4 f(x, y)
\]

它对应的3阶mask为:

\[
\left [
\begin{matrix}
0 & 1 & 0\\
1 & -4 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right ]
\]

若考虑两个对角线方向的偏导数, 则为:

\[
\left [
\begin{matrix}
1 & 1 & 1\\
1 & -8 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{matrix}
\right ]
\]

应用

孤立点检测(Isolated Point Detection)

如之前所说, 二阶mask对细节更敏感, 所以Laplacian算子的一个常见应用是孤立点检测.

线条检测(Line detection)

一个像素宽的是线条, 两个像素宽的是线条, 三个, 四个, ..., \(n\)个呢? 所以先得区分线条和region. 不比mask宽的才是线条, 比mask宽的就是region了. (DIP 10.2.3).

用于line detection的mask可以是方向不特异的(检测所有方向的线条, 如上面已列出的.), 也可以方向特异的(只检测某个方向的线条). 这种检测还是有thresholding过程: response大于threshold的才认为是属于检测目标的像素点.

应用\(+45^\circ\)的mask: