【LOJ 2145】「SHOI2017」分手是祝愿

LOJ 2145 100pts

这题。。。BT啊

首先我们很容易想出\(dp(msk)\)表示现在灯开关的情况是\(msk\)，期望通过多少步走到终结态。

很明显\(dp(msk)=\frac{1}{n} \times \sum_{i=1}^n dp(msk\ xor\ M_i)\)。

其中\(M_i\)表示把\(i\)这个灯按下之后会改变哪些灯的状态。

然后发现这个转移是有环的。。。所以高斯消元。

然后很开心地发现这个复杂度是\(O(2^3n)\)的，

所以看看是不是可以合并某些状态。

观察得如果两个\(msk\)达到终结态需要的最少按的次数是相同的，那么他们的\(dp\)值也是相同的。

所以考虑改变状态为\(dp(i)\)表示最少要开关多少次灯来把当前状态变成终结态时期望的步数。

观察得转移是\(dp(i)=\frac{i}{n}dp(i-1)+\frac{n-i}{n}dp(i+1)+1\)。

很遗憾这个还是有环的。。。所以高斯消元。

这个复杂度就是\(O(n^3)\)的了，可以拿\(60pts\)（因为最后乘\(n!\)会爆炸）。

根据定义\(dp(n)=dp(n-1)+1\)。

那么我们看看\(dp(n-1)=???\)

根据定义\(dp(n-1)=\frac{n-1}{n}dp(n-2)+\frac{1}{n}dp(n)+1\)

\(=\frac{n-1}{n}dp(n-2)+\frac{1}{n}dp(n-1)+\frac{1}{n}+1\)

所以\(\frac{n-1}{n}dp(n-1)=\frac{n-1}{n}dp(n-2)+\frac{1}{n}+1\)

所以\(dp(n-1)=dp(n-2)+\frac{n+1}{n-1}\)。

那么我们可以假设\(dp(i)=dp(i-1)+c(i)\)。

那么根据定义\(dp(i)=\frac{i}{n}dp(i-1)+\frac{n-i}{n}dp(i+1)+1\)，

\(=\frac{i}{n}dp(i-1)+\frac{n-i}{n}(dp(i)+c(i+1))+1\)，

所以\(\frac{i}{n}dp(i)=\frac{i}{n}dp(i-1)+\frac{n-i}{n}c(i+1)+1\)，

简化得\(dp(i)=dp(i-1)+\frac{(n-i)c(i+1)+n}{i}\)。

所以\(c(i)=\frac{(n-i)c(i+1)+n}{i}\)。

做完了。。。