题解-ZJOI2015地震后的幻想乡

Problem

bzoj & 洛谷

题意简述：给定一个\(n\)（\(n\leq 10\)）个点\(m\)条边的无向图，每条边的权值为一个\(0\)到\(1\)之间的连续随机变量，求图的最小生成树中最大边的期望权值

Solution

\(m\)个范围\([0,1]\)之间的随机变量中，第\(i\)大的值期望为\(\frac i{m+1}\)（这个式子我只会证最大值期望为\(\frac m{m+1}\)，但不会证第\(i\)大的期望，如果有哪位神犇会证，请赐教）

upd：现在我会证第\(i\)大的期望了☞博客链接☜

有了这个东西，再考虑到原题是要求联通即可，发现\(kruskal\)算法正好符合

将边排序后加入，若加入到第\(i\)条边时整张图连通，则答案为\(\frac i{m+1}\)；若期望第\(i'\)次连通整张图，则答案为\(\frac {i'}{m+1}\)

设\(f[S][i]\)表示用了\(i\)条边不能使\(S\)联通的方案数，\(g[S][i]\)表示用了\(i\)条边能使\(S\)联通的方案数，\(C[S]\)表示点集\(S\)内部道路数量

\[f[S][j]=\sum g[s][i]\cdot \binom {C[S-s]}{j-i}
\]

\[g[S][j]=\binom {C[S]}i-f[S][j]
\]

考虑到若第\(i\)条边加入后仍未连通，则会对后面都造成影响（类似整数期望公式的一种统计方法）

\[Ans=\frac 1{m+1}\sum_{i=0}^m\frac {f[A][i]}{\binom {C[A]}{i}}
\]

最后记得在枚举集合的时候要定下一个点强制选择，否则可能会拓扑序紊乱（代码里的做法就是 S+=2 而不是 ++S，这样枚举的集合必定含有\(1\)号节点）

Code

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
#define rg register
template <typename _Tp> inline _Tp read(_Tp&x){
	char c11=getchar(),ob=0;x=0;
	while(c11^'-'&&!isdigit(c11))c11=getchar();if(c11=='-')ob=1,c11=getchar();
	while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();if(ob)x=-x;return x;
}
const int N=11,M=60,MS=1<<N;
ll c[M][M],C[MS],f[MS][M],g[MS][M];
int n,m,A,bin[N];
void init();void work();void print();
int main(){init();work();print();return 0;}
void work(){
	for(rg int S=1;S<bin[n];S+=2)
	for(rg int j=0;j<=C[A];++j){
		for(rg int s=(S-1)&S;s;s=(s-1)&S)
		for(rg int i=0;i<=j;++i)
			f[S][j]+=g[s][i]*c[C[S-s]][j-i];
		g[S][j]=c[C[S]][j]-f[S][j];
	}
}
void print(){
	double ans(0.0);
	for(rg int i=0;i<=C[A];++i)
		ans+=1.0*f[A][i]/c[C[A]][i];
	printf("%.6lf\n",ans/(C[A]+1));
}
void init(){
	read(n),read(m);A=(1<<n)-1;
	int x,y;bin[0]=1;
	for(rg int i=1;i<=n;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
	for(rg int i=0;i<=m;++i){
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;++j)
			c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
	}
	while(m--){
		read(x),read(y);--x,--y;
		for(rg int S=1;S<bin[n];++S)
			if( S&bin[x] and S&bin[y] )
				++C[S];
	}
}