【XSY2718】gift 分数规划 网络流

题目描述

　　有\(n\)个物品，买第\(i\)个物品要花费\(a_i\)元。还有\(m\)对关系：同时买\(p_i,q_i\)两个物品会获得\(b_i\)点收益。

　　设收益为\(B\)，花费为\(A\)，求\(\lceil\frac{B}{A}\rceil-1\)

　　\(n\leq 400,m\leq 200000,1\leq a_i,b_i\leq 100\)

题解

　　显然这是一个分数规划问题。

　　二分答案\(s\)，判断答案是否能大于\(s\)

\[\begin{align}
\frac{B}{A}&>s\\
B&>As\\
B-As&>0
\end{align}
\]

　　问题转化成买一个物品获得\(-a_is\)点收益，求收益是否能\(>0\)

　　显然这个可以用最大权闭合子图来做，点数为\(n+m+2\)，边数为\(n+3m\)，肯定会TLE

　　考虑另一种连边方法。

　　对于每个点\(i\)，连边\((S,i,-a_is)\)

　　对于每一对关系，列一个方程，解得：连边\((p_i,q_i,\frac{1}{2}b_i),(q_i,p_i,\frac{1}{2}b_i),(p_i,T,\frac{1}{2}b_i),(q_i,T,\frac{1}{2}b_i)\)。

　　答案就是\(\sum_{i=1}^mb_i-maxflow\)

　　因为容量为分数不好处理，所以可以把全部数\(\times 2\)。

　　这样做的点数是\(n+2\)，边数是\(2n+m\)。

　　写ISAP不用卡常美滋滋。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	s=c-'0';
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
		s=s*10+c-'0';
	return s;
}
int sum=0;
namespace flow
{
	int c[10000010];
	int v[10000010];
	int t[10000010];
	int h[4010];
	int n;
	void add(int x,int y,int a)
	{
		n++;
		v[n]=y;
		c[n]=a;
		t[n]=h[x];
		h[x]=n;
	}
	void init()
	{
		memset(h,0,sizeof h);
		n=0;
	}
	int S,T;
	int num;
	int d[4010];
	int e[4010];
	int cur[4010];
	int op(int x)
	{
		return ((x-1)^1)+1;
	}
	queue<int> q;
	void bfs()
	{
		memset(d,-1,sizeof d);
		memset(e,0,sizeof e);
		d[T]=0;
		q.push(T);
		int x,i;
		while(!q.empty())
		{
			x=q.front();
			q.pop();
			e[d[x]]++;
			for(i=h[x];i;i=t[i])
				if(c[op(i)]&&d[v[i]]==-1)
				{
					d[v[i]]=d[x]+1;
					q.push(v[i]);
				}
		}
	}
	int dfs(int x,int flow)
	{
		if(x==T)
			return flow;
		int s=0,u;
		for(int &i=cur[x];i;i=t[i])
			if(d[v[i]]==d[x]-1&&c[i])
			{
				u=dfs(v[i],min(flow,c[i]));
				s+=u;
				flow-=u;
				c[i]-=u;
				c[op(i)]+=u;
				if(!flow)
					return s;
			}
		e[d[x]]--;
		if(!e[d[x]])
			d[S]=num;
		e[++d[x]]++;
		cur[x]=h[x];
		return s;
	}
	int solve()
	{
		bfs();
		memcpy(cur,h,sizeof h);
		int ans=0;
		while(ans<2*sum&&d[S]>=0&&d[S]<=num-1)
			ans+=dfs(S,2*sum-ans);
		return ans;
	}
}
using flow::S;
using flow::T;
using flow::num;
int n,m;
int lx[2000010];
int ly[2000010];
int lz[2000010];
int s[4010];
int a[4010];
void add(int x,int y,int z)
{
	flow::add(x,y,z);
	flow::add(y,x,0);
}
void add2(int x,int y,int z)
{
	flow::add(x,y,z);
	flow::add(y,x,z);
}
int check(int x)
{
	flow::init();
	int i;
	S=n+1;
	num=T=n+2;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		add(S,i,int(min(0x7fffffffll,2ll*a[i]*x)));
		add(i,T,s[i]);
	}
	for(i=1;i<=m;i++)
		if(lx[i]!=ly[i])
			add2(lx[i],ly[i],lz[i]);
	return flow::solve()<2*sum;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("c.in","r",stdin);
	freopen("c.out","w",stdout);
#endif
//	scanf("%d%d",&n,&m);
	n=rd();
	m=rd();
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
//		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]=rd();
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
//		scanf("%d%d%d",&lx[i],&ly[i],&lz[i]);
		lx[i]=rd();
		ly[i]=rd();
		lz[i]=rd();
		s[lx[i]]+=lz[i];
		s[ly[i]]+=lz[i];
		sum+=lz[i];
	}
	int l=0,r=sum;
	while(l<r)
	{
		int mid=(l+r+1)>>1;
		if(check(mid))
			l=mid;
		else
			r=mid-1;
	}
	printf("%d\n",l);
	return 0;
}