图论分支-差分约束-SPFA系统
据说差分约束有很多种,但是我学过的只有SPFA求差分;
我们知道,例如 A-B<=C,那么这就是一个差分约束。
比如说,著名的三角形差分约束,这个大家都是知道的,什么两边之差小于第三边啦,等等等等。
所以说,我们学他干嘛(我们得出结论:学他没用,谢谢大家观看)
咳咳——说正事,我们来看一道例题:【luoguP1993】小K的农场:
题目描述
小K在MC里面建立很多很多的农场,总共n个,以至于他自己都忘记了每个农场中种植作物的具体数量了,他只记得一些含糊的信息(共m个),以下列三种形式描述:
- 农场a比农场b至少多种植了c个单位的作物,
- 农场a比农场b至多多种植了c个单位的作物,
- 农场a与农场b种植的作物数一样多。
但是,由于小K的记忆有些偏差,所以他想要知道存不存在一种情况,使得农场的种植作物数量与他记忆中的所有信息吻合。
输入格式:
第一行包括两个整数 n 和 m,分别表示农场数目和小 K 记忆中的信息数目。
接下来 m 行:
如果每行的第一个数是 1,接下来有 3 个整数 a,b,c,表示农场 a 比农场 b 至少多种植了 c 个单位的作物。
如果每行的第一个数是 2,接下来有 3 个整数 a,b,c,表示农场 a 比农场 b 至多多种植了 c 个单位的作物。如果每行的第一个数是 3,接下来有 2 个整数 a,b,表示农场 a 种植的的数量和 b 一样多。
输出格式:
如果存在某种情况与小 K 的记忆吻合,输出“Yes”,否则输出“No”。
我们看一看题干,能够发现一些条件:1.A-B>=C,2.A-B<=C,3.A=B。
我们一个一个分析先分析第2个(为什么?等会就明白了)
题中让我们求得是否能够让条件成立,那么就用到我们的SPFA了,怎么用?
还记得SPFA那个更新条件吗
dis[y]>dis[x]+edge[i].w;所以说,让我们反想一下,既然我们求得答案,那么我们肯定想
dis[y]<=dis[x]+edge[i].w
因为这样最后我们就可以求得答案了;
那么如果我们将它推论到差分系统呢,我们想让它成立,那么就要让他限制于一个条件,那么很容易就能懂C应该是edge[i].w;
那么我们推一下,A<=B+C -> A-B<=C。这样我们建一个由B指向A的边,边权为C,那么我们再来看第一个条件就很容易懂了。
这个就直接说了,B-A<=-C,之后就和前面的一样了;
那么来看最后一个条件:A=B。这个应该是初中(应该不是的小学吧QWQ)数学的知识,A>=B && A<=B,就可以实现这个条件的差分替换了;
那么再用上SPFA的judge负环的骚操作就可以了。
这样应该就能写出来这道题了——吗?
你会发现你从1点开始跑会有70分,(其实是水的),为什么呢?
这是因为图可能并不联通,那么你这样跑就会凉凉,那么我们可以建一个超级原点,这样就可以联通了,提交发现60分
!!!怎么还少了QAQ!!!
所以说上面的过程是水的呀,我们会T掉,因为BFS会一直在圈里跑,而圈子又太大,那么SPFA的诟病就出来了(关于SPFA,它死了)
SPFA还没有凉透,因为我们会出现负环,而题中就让我们判断负环,我们没法用其他算法啊!
那么就有了应运而生的SPFA-DFS判负环版本,来看一下代码
bool SPFA(int x){
vis[x]=;//标记在搜索过程中
for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
int y=edge[i].to;
if(dis[y]>dis[x]+edge[i].w){
dis[y]=dis[x]+edge[i].w;
if(vis[y]) return true;/*循环环出现,也就是负权值不停更新
,那么我们用这个机制就可以return了*/
if(SPFA(y)) return true;
}
}
vis[x]=;//清除标记
return false;//条件成立
}
这样就不会TLE了;
现在来看完整代码(其中有BFS的TLE代码):
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 10007
using namespace std;
int n,m,head[maxn],cent,vis[maxn],dis[maxn],num[maxn];
struct node{
int next,to,w;
}edge[maxn<<];
queue<int >q; void add(int u,int v,int w){
edge[++cent]=(node){head[u],v,w};head[u]=cent;
} //bool SPFA(int x){
// vis[x]=1,num[x]++,dis[x]=0;
// q.push(x);
// while(!q.empty()){
// int x=q.front();vis[x]=0;q.pop();
// for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
// int y=edge[i].to;
// if(dis[y]>dis[x]+edge[i].w){
// dis[y]=dis[x]+edge[i].w;
// if(!vis[y]){
// q.push(y);
// num[y]++;
// }
// if(num[y]>=n){
// return true;
// }
// }
// }
// }
// return false;
//} bool SPFA(int x){
vis[x]=;//标记在搜索过程中
for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
int y=edge[i].to;
if(dis[y]>dis[x]+edge[i].w){
dis[y]=dis[x]+edge[i].w;
if(vis[y]) return true;/*循环环出现,也就是负权值不停更新
,那么我们用这个机制就可以return了*/
if(SPFA(y)) return true;
}
}
vis[x]=;//清除标记
return false;//条件成立
} int main(){
// freopen("cin.in","r",stdin);
// freopen("cout.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=,s,a,b,c;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&s,&a,&b);
if(s==){
scanf("%d",&c);
add(a,b,-c);
}else if(s==){
scanf("%d",&c);
add(b,a,c);
}else if(s==){
add(a,b,);
add(b,a,);
}
}
for(int i=;i<=n;i++) add(,i,);//超级源点
memset(dis,0x3f3f3f,sizeof(dis));
dis[]=;//搜索初始化
if(SPFA()) printf("No");
else printf("Yes");
return ;
}
这道题就结束了,再送一道福利题[USACO05DEC]
好了,就这样了。
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