【ML】从特征分解，奇异值分解到主成分分析

1.理解特征值，特征向量

一个对角阵$A$，用它做变换时，自然坐标系的坐标轴不会发生旋转变化，而只会发生伸缩，且伸缩的比例就是$A$中对角线对应的数值大小。

对于普通矩阵$A$来说，是不是也可以找到这样的向量，使得经$A$变换后，不改变方向而只伸缩？答案是可以的，这种向量就是$A$的特征向量，而对应的伸缩比例就是对应的特征值。

特征值会有复数是为什么？

首先要知道，虚数单位$i$对应的是旋转$90^o$，那么，如果特征值是复数，则对应的特征向量经矩阵$A$变换后将会旋转$90^o$，且伸缩率是复数的模。

2.矩阵的分解1：特征值分解

一个方阵$A$，它的线性无关的特征向量个数不会超过其维度，不同特征值对应的特征向量一定是线性无关的。而同一特征值对应的特征向量也不一定相关。

但是，如果重复特征值重复计数，特征值的个数一定是$n$，对应的也有$n$个特征向量。那么矩阵就可以分解：

$Ax_i=\lambda x_i$

$AX=\Lambda X$

其中，$\Lambda$是将$A$的特征值作为对角元素的对角阵，$X$是与特征值位置对应的特征向量(列)排成的矩阵。

$A=X^{-1}\Lambda X$

从而，可以将$A$分解为上面的形式，这样，在计算，分析性质等会很有帮助。

一个应用就是PCA时，对协方差矩阵$A^TA$做特征分解，以提取主成分。

3.矩阵的分解2：奇异值分解SVD

上面的特征值分解只针对于方阵，而对于一般矩阵，可不可以做类似分解呢？

这就是奇异值分解。

什么是奇异值：A的奇异值是$A^TA$的特征值的平方根。因为矩阵是变换，经非方阵$A$变换后也有向量其方向不变，只伸缩，这个伸缩率就是奇异值，对应的向量为$A^TA$的特征向量。

酉矩阵：$A^T=A^{-1}$的矩阵。

什么是奇异值分解？

具体来说：对于非方阵$A$，它的奇异值分解形式是：

$A=U\sum V^T$

其中，$A:m*n;U:m*m ; \sum : m*n; V:n*n$，且$、U、V$都是酉矩阵。

$\sum$矩阵只有对角线元素不为0，称为奇异值。

并且：

$V$是矩阵$A^TA$ 的标准化特征向量构成的矩阵，称为右奇异向量矩阵。右奇异向量实现列数压缩。

$U$是矩阵$A^TA$的标准化特征向量构成的矩阵，称为左奇异向量矩阵。左奇异向量实现列数压缩。

$\sum$矩阵对角线的奇异值就是矩阵$A^TA$的特征值的平方根。

下面推导一下为什么是这样：

奇异值分解，将$m*n$的矩阵$A$，分解为：

$A=U\sum V^T $

则：$A^T=V\sum^T U^T => A^TA=V\sum^TU^TU\sum V^T=V\sum^2V^T$

上面用到了$U^TU=I$。

即得到了：

$ A^TA=V\sum^TU^TU\sum V^T=V\sum^2V^T$

因而很显然，方阵$A^TA$的标准化特征向量排列成的矩阵就是$V$，而特征值开根号就是奇异值。

所以，从这里也可知，奇异值的个数就是$A^TA$的特征值个数。

4. 主成分分析PCA

为什么做主成分分析？

做数据分析处理，针对每个样本都收集了大量特征，设样本数为$m$，特征数为$n$，则我们得到的数据矩阵为：

$A=[m*n]$；每行为一个样本，每列为一个特征。

大量的数据会导致处理计算复杂，并且多个特征相互之间可能存在多重相关关系，导致把所有数据放在一起处理过分拟合了某些指标；而盲目的删除一些特征又可能导致关键信息的损失。

如何减少特征数，又保留住绝大部分信息呢？+正则化项可以自动学习这个过程。PCA主成分分析可以实现这个目的，其本质是数据降维。

怎么做主成分分析？

1.找主成分方向：正交的

将列数$n$降维到$n'$，怎么做呢？如果有一个维度它的变化不大，那么包含的信息就很少，自然可以删除，但在现有数据下，很难看出哪个维度变化不大，数据是杂乱的。因此将其变换到以特征向量为基的坐标系下，$n$维矩阵自然可以变换到$n$维特征向量坐标系，这样，所有$n$个特征是相互正交的。变换到新的坐标系后，由于特征值的大小表征了离散程度，哪个特征变化小就可以通过特征值大小看出来。

根据最大方差理论，变化大的维度含有的信息远大于变化小的。

求PCA方向就是$A^TA$的特征值方向。

为什么要对$A^TA$求特征向量呢（为什么是这个方向）？

这是因为，原本我们想将列向量变换到正交的特征向量方向，即寻找新的坐标系，将每条数据在这个新的坐标系下标出。这个方向实际上就是$A^TA$的特征向量的方向。因为，根据第5部分，$A=U\sum V^T=>AV=U\sum$，可以看到，$V$的各个向量的方向就是相互正交方向，这个方向使得数据$A$的列向量变换后依然正交。而如何将列向量变换到正交方向上去呢？投影。这个式子也给了我们答案，即相乘，类似于内积，(一个向量到另一个向量的投影)。因此，这样就将所有列向量(特征)映射到了相互正交的空间，倘若有的变量变化不大，此时可以根据特征值大小看出，即特征值小则方差小，信息量小。

另外可以发现，中心化后，$A^TA$就是协方差矩阵，这是为什么许多教材上直接说对协方差矩阵求特征向量，特征向量的方向就是主成分方向。

那么，确定了主成分方向，如何确定使用哪几个主成分呢？

特征值的意义就是特征向量方向上的伸缩率，因此，特征值的大小衡量了该主成分方向上的离散程度，特征值越大，则越离散，方差越大，信息越多。

因此可以定义贡献率：该特征值/特征值之和。

所以，只要选取特征值最大的几个主成分方向以及对应的主成分向量(主成分特征)就可以了。这是为什么教材中按特征值大小排序。

总结一下主成分步骤：

要将列特征变换到另一个空间，使得特征之间是相互正交的，即变换后的$n$维特征正好处于新坐标系的轴上。

求$A^TA$特征值以及对应的特征向量，按大小排序。
该特征向量就是新的坐标轴方向，将A的各行向新的特征值方向上做投影，得到主成分。
根据贡献率，选择需要的主成分数。

上面的过程很类似于奇异值分解，实际上，学习库中的PCA不会真的对$A^TA$求特征向量，这太费时了，因为求特征向量实际上就要首先求特征多项式，大于三阶不存在通用算法求解。实际上，scikit-learn做奇异值分解的途中，有算法可以直接得到右边的$V$，从而确定了方向。

PCA的缺点是解释性不强，即变换后的特征到底代表了什么是不能够解释的，但这不影响PCA很有效，对我来说更重要的是帮助理解特征值分解和奇异值分解。