[BZOJ4071][APIO2015]八邻旁之桥

BZOJ（这题是BZOJ权限题，有权限号的就去看看吧）

Luogu（良心洛谷）

题目描述

一条东西走向的穆西河将巴邻旁市一分为二，分割成了区域\(A\)和区域\(B\)。

每一块区域沿着河岸都建了恰好\(1000000001\)栋的建筑，每条岸边的建筑都从\(0 编号到 1000000000\)。相邻的每对建筑相隔\(1\)个单位距离，河的宽度也是\(1\)个单位长度。区域\(A\)中的\(i\)号建筑物恰好与区域\(B\)中的\(i\)号建筑物隔河相对。

城市中有\(N\)个居民。第\(i\)个居民的房子在区域\(P_i\)的\(S_i\)号建筑上，同时他的办公室坐落在\(Q_i\)区域的\(T_i\)号建筑上。一个居民的房子和办公室可能分布在河的两岸，这样他就必须要搭乘船只才能从家中去往办公室，这种情况让很多人都觉得不方便。为了使居民们可以开车去工作，政府决定建造不超过\(K\)座横跨河流的大桥。

由于技术上的原因，每一座桥必须刚好连接河的两岸，桥梁必须严格垂直于河流，并且桥与桥之间不能相交。

当政府建造最多\(K\)座桥之后，设\(D_i\)表示第\(i\)个居民此时开车从家里到办公室的最短距离。请帮助政府建造桥梁，使得 \(D1+D2+⋯+DN\)最小。

输入格式：

输入的第一行包含两个正整数\(K\)和\(N\)，分别表示桥的上限数量和居民的数量。

接下来\(N\)行，每一行包含四个参数：\(P_i,S_i,Q_i\)和\(T_i\)，表示第\(i\)个居民的房子在区域\(P_i\)的\(S_i\)号建筑上，且他的办公室位于\(Q_i\)区域的\(T_i\)号建筑上。

输出格式：

输出仅为一行，包含一个整数，表示\(D1+D2+⋯+DN\)的最小值.

输入样例#1：

1 5
B 0 A 4
B 1 B 3
A 5 B 7
B 2 A 6
B 1 A 7

输出样例#1：

24

输入样例#2：

2 5
B 0 A 4
B 1 B 3
A 5 B 7
B 2 A 6
B 1 A 7

输出样例#2：

22

说明

所有数据都保证：\(P_i\) 和 \(Q_i\) 为字符 \(“A”\) 和 \(“B”\) 中的一个， \(0≤S_i,T_i≤10000000000\) ，同一栋建筑内可能有超过 \(1\) 间房子或办公室（或二者的组合，即房子或办公室的数量同时大于等于 \(1\)）。

子任务 1 （8 分）\(K=1\quad1≤N≤1000\)

子任务 2 （14 分）\(K=1\quad1≤N≤100000\)

子任务 3 （9 分）\(K=2\quad1≤N≤100\)

子任务 4 （32 分）\(K=2\quad1≤N≤1000\)

子任务 5 （37 分）\(K=2\quad1≤N≤100000\)

sol

这题看上去很不可做呀，但是很明显\(K≤2\)这个条件是非常重要的。

先考虑\(K=1\)怎么做。

首先，如果一个人的房子和办公室位于河的同一侧，那么这个人肯定是不受任何影响的，即他对答案的贡献永不变。我们先把这种人预处理了，然后剩下的全是必须要过河的。

那么现在有\(cnt\)个人要过河，第\(i\)个人要从\(A_i\)走到\(B_i\)，或者说，从\(A_i\)走到桥的位置\(pos\)，再从桥的位置\(pos\)走到\(B_i\)。说白了我们就是要求\(\sum abs(A_i-pos)+abs(B_i-pos)\)，可发现\(A_i\)与\(B_i\)其实无差别。

所以就把所有的\(A_i\)跟\(B_i\)放在一起排序，然后桥的位置就一定是排序后中位数的位置。暴力统计每个点到桥的距离，这样\(K=1\)就做完了。

现在来考虑\(K=2\)。

首先看这样一个结论：对每个人来说，他一定会走那座离\((A_i+B_i)/2\)更近的桥。这个结论其实不需要证明，手玩一下即可。

那么我们把所有人按照\((A_i+B_i)/2\)排序，那么一定是左边一部分人走左边的那座桥，右边的一部分人走右边的那座桥。

所以我们要对左右分别维护一个数据结构，支持快速插入、删除元素，并可以快速查询中位数、查询区间和。在这里splay和权值线段树都是不错的选择。

那么这题就做完啦。嗯哼。

code

本代码使用权值线段树。

本代码使用cin读入数据。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 100005;
struct node{
	int u,v;
	bool operator < (const node &b) const
		{return u+v<b.u+b.v;}
}x[N];
int n,k,a,b,o[N<<1],len,sz[2][N<<3],cnt;
ll useless,tot1,tot2,sum[2][N<<3],ans;
char op1,op2;
void work1()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>op1>>a>>op2>>b;
		if (op1==op2) useless+=abs(a-b);
		else useless++,o[++len]=a,o[++len]=b;
	}
	sort(o+1,o+len+1);
	for (int i=1;i<=(len>>1);i++)
		tot1+=o[i];
	for (int i=(len>>1)+1;i<=len;i++)
		tot2+=o[i];
	cout<<useless+tot2-tot1<<endl;
}

void Modify(int w,int x,int l,int r,int pos,int tp)
{
	sz[w][x]+=tp;
	sum[w][x]+=tp*o[pos];
	if (l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	if (pos<=mid) Modify(w,x<<1,l,mid,pos,tp);
	else Modify(w,x<<1|1,mid+1,r,pos,tp);
}
int Find(int w,int x,int l,int r,int k)
{
	if (l==r) return l;
	int mid=l+r>>1;
	if (k<=sz[w][x<<1]) return Find(w,x<<1,l,mid,k);
	else return Find(w,x<<1|1,mid+1,r,k-sz[w][x<<1]);
}
int Size(int w,int x,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if (l>=ql&&r<=qr) return sz[w][x];
	int mid=l+r>>1,s=0;
	if (ql<=mid) s+=Size(w,x<<1,l,mid,ql,qr);
	if (qr>mid) s+=Size(w,x<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	return s;
}
ll Sum(int w,int x,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if (l>=ql&&r<=qr) return sum[w][x];
	int mid=l+r>>1;ll s=0;
	if (ql<=mid) s+=Sum(w,x<<1,l,mid,ql,qr);
	if (qr>mid) s+=Sum(w,x<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	return s;
}
void work2()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>op1>>a>>op2>>b;
		if (op1==op2) useless+=abs(a-b);
		else useless++,o[++len]=a,o[++len]=b,x[++cnt]=(node){a,b};
	}
	if (!cnt) {cout<<useless<<endl;exit(0);}
	sort(x+1,x+cnt+1);
	sort(o+1,o+len+1);
	len=unique(o+1,o+len+1)-o-1;
	for (int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		x[i].u=lower_bound(o+1,o+len+1,x[i].u)-o;
		x[i].v=lower_bound(o+1,o+len+1,x[i].v)-o;
	}
	for (int i=1;i<=cnt;i++)
		Modify(1,1,1,len,x[i].u,1),Modify(1,1,1,len,x[i].v,1);
	ans=1e18;
	for (int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		Modify(0,1,1,len,x[i].u,1);Modify(0,1,1,len,x[i].v,1);
		Modify(1,1,1,len,x[i].u,-1);Modify(1,1,1,len,x[i].v,-1);
		int m1=Find(0,1,1,len,i),m2=Find(1,1,1,len,cnt-i);
		ll D1=(ll)Size(0,1,1,len,1,m1)*o[m1]-Sum(0,1,1,len,1,m1)+Sum(0,1,1,len,m1,len)-(ll)Size(0,1,1,len,m1,len)*o[m1];
		ll D2=(ll)Size(1,1,1,len,1,m2)*o[m2]-Sum(1,1,1,len,1,m2)+Sum(1,1,1,len,m2,len)-(ll)Size(1,1,1,len,m2,len)*o[m2];
		ans=min(ans,D1+D2);
	}
	cout<<useless+ans<<endl;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>k>>n;
	if (k==1) work1();
	else work2();
	return 0;
}