目录：

1 X思想的了解。

2. 链表的递归与回溯。

3. 具体操作。

4. 优化。

5. 一些应用与应用中的再次优化（例题）。

6. 练手题

X思想的了解。

首先了解DLX是什么？

DLX是一种多元未饱和型指令集结构，DLX 代表中级车、加长轴距版本、内饰改款、尊贵车豪华版车型。---百科百度

不不不，我不讲这些明明就是不懂

DLX是什么，一种解决精准覆盖问题的做法，一般不叫算法，下面讲。

模版题：

时间限制:10000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

小Ho最近遇到一个难题，他需要破解一个棋局。

棋局分成了n行，m列，每行有若干个棋子。小Ho需要从中选择若干行使得每一列有且恰好只有一个棋子。

比如下面这样局面：

其中1表示放置有棋子的格子，0表示没有放置棋子。

对于上面这个问题，小Ho经过多次尝试以后得到了解为选择2、3、4行就可以做到。

但是小Ho觉得自己的方法不是太好，于是他求助于小Hi。

小Hi：小Ho你是怎么做的呢？

小Ho：我想每一行都只有两种状态，选中和未被选中。那么我将选中视为1，未选中视为0。则每一种组合恰好对应了一个4位的01串，也就是一个4位的二进制数。

小Hi：恩，没错。

小Ho：然后我所做的就是去枚举每一个二进制数然后再来判定是否满足条件。

小Hi：小Ho你这个做法本身没什么问题，但是对于棋盘行数再多一点的情况就不行了。

小Ho：恩，我也这么觉得，那你有什么好方法么？

小Hi：我当然有了，你听我慢慢道来。

提示：跳舞链

输入

第1行：1个正整数t，表示数据组数，1≤t≤10。

接下来t组数据，每组的格式为：

第1行：2个正整数n,m，表示输入数据的行数和列数。2≤n,m≤100。

第2..n+1行：每行m个数，只会出现0或1。

输出

第1..t行：第i行表示第i组数据是否存在解，若存在输出"Yes"，否则输出"No"。

样例输入

2

4 4

1 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

0 1 0 1

4 4

1 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 1

样例输出

No

Yes

传送门

DL=Dancing Link跳舞链（双向十字链表），一种数据结构，用来优化X算法的，所以叫DLX，所以在严格意义上来讲，DLX就是一个优美的暴力可人家就是快，就是牛逼呀！

链表大家都知道，如果这都不知道，这篇文章你多半看不懂的！

双向十字链表是什么？

一个图祝大家秒记：

没错，双向十字链表有四个方向的链，而普通的双向链表只有两个方向的链。所以他更牛逼。

那么删除就更原来一样呀！

那么，X思想是什么。我是不是想Y了。。。

对于一个矩阵：

对于这种图，我们先找到第一个没有覆盖的列：

然后依次找一个这一列为1的行，然后将这一列与这一行标为紫色。

霸王硬上弓，删掉！

不对，删掉这一行还会有一行被覆盖。

Look，这一行的橙色部分也被覆盖，因此橙色这一列也应该被删掉。

于是，我们应当把第三行删掉（蓝色部分）。

这样把所有被颜色圈住的格子删掉，同时将第一行丢入ans数组。

丑得一批。。。

那么，照旧，选择第一个没有被覆盖的列，第二列，同时我们选择第二行作为ans。

删除之后，我们继续找，发现第三列还没被覆盖，但是这一列没有一行有1了（完全连行都没有了。。。失败？）

不存在的，回溯大法好呀！

用填色的部分就是删除的部分（先将第一列删除，再将覆盖第一列的第一行与第二行删除，同时，我们选择了第二行，所以我们将第2、5行删除），同时我们将ans[1]=2。

这么一删，我们把第1、2、5列给删了，同时第1、2行也被删了，重复以下步骤，我们发现只要选择2、3行，就木有问题了。

但是，回溯过程代价打得一批这不是你画图丑得一批的理由！！！

链表的递归与回溯。

我们发现用链表不仅删除十分快，而且回溯也十分迅猛，在空间与时间上都十分优秀！

我们只需要用链表储存1的位置，同时，把每一列的编号也作为一个节点就可以了，然后用双向十字链表建个图，然后进行那些步骤（每次跳0号节点的右边，选列的话只需要跳选的节点的下面或上面，双向链表是循环的）。

图中第一行中0、1、2、3、4、5代表列数，而下面的1代表这个节点的权值是1。

其实链表还有个重要的性质：

平常链表删除只是让左边的指向自己右边，同时右边又指向自己左边，但是自己的左边和右边还是指向他们的，如果要恢复的话，只需要让左边和右边的人再次指向自己就好了，真是方便。

不过双向十字链表要注意上下左右都要删除与他的联系。

所以为什么叫跳舞链，我怎么知道？

具体实现

定义代码：

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. using  namespace  std;
  4. int  a[2100];//添加时记录第i个1所在的列数
  5. struct  node
  6. {
  7.     int  l,r,u,d,lie,hang;//l代表左,r代表右,u代表上，d代表下，lie代表lie标记，为优化做准备，而hang则是hang坐标，经常能有许多有用的信息。
  8. };
  9. struct  DLX
  10. {
  11.     node  p[610000];int  len;//p代表链表，len代表节点数
  12.     int  size[2100],last[2100];//size代表第i列有多少节点，而last数组记录第i列的最后一个节点编号
  13.     inline  void  make(int  l,int  r,int  u,int  d,int  lie,int  hang){p[len].l=l;p[len].r=r;p[len].u=u;p[len].d=d;p[len].lie=lie;p[len].hang=hang;}//制造函数
  14.     inline  void  sxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[x].d;p[p[x].d].u=p[x].u;}//上下链表删除
  15.     inline  void  nsxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[p[x].d].u=x;}//上下链表还原
  16.     inline  void  zydel(int  x){p[p[x].l].r=p[x].r;p[p[x].r].l=p[x].l;}//左右链表删除
  17.     inline  void  nzydel(int  x){p[p[x].l].r=p[p[x].r].l=x;}//左右链表还原
  18. }dlx;

初始化：

  1. inline  void  clear(int  x)//初始化x列
  2. {
  3. 	len=0;p[0].l=p[0].r=p[0].u=p[0].d=0;//将0号节点初始化
  4. 	for(int  i=1;i<=x;i++)//建x列
  5. 	{
  6. 		size[i]=0;last[i]=i;//重置size与last
  7. 		len++;make(i-1,p[i-1].r,i,i,i,0);//make制造第i列节点
  8. 		nzydel(i);//将左右的人指向自己
  9. 	}
  10. }

将第row行插入到链表里，插入的节点数为a[0]。

  1. inline  void  add(int  row)//添加第row行
  2. {
  3. 	if(a[0]==0)return  ;//其实不加也可以，即使下面make了一个没用的节点，但是并不会访问到它
  4. 	len++;make(len,len,last[a[1]],p[last[a[1]]].d,a[1],row);
  5. 	nsxdel(len);size[a[1]]++;last[a[1]]=len;//制造本行第一个节点
  6. 	for(int  i=2;i<=a[0];i++)//遍历
  7. 	{
  8. 		len++;make(len-1,p[len-1].r,last[a[i]],p[last[a[i]]].d,a[i],row);//制造第i个节点
  9. 		nsxdel(len);nzydel(len);size[a[i]]++;last[a[i]]=len;//让上下左右的节点指向自己。
  10. 	}
  11. }

删除（递归中的删除）：

  1. //将第i列删除，同时将相关的行也彻底删除
  2. inline  void  del(int  x)//注意：x的行数为0
  3. {
  4. 	zydel(x);//先删掉第x列与其他列的练习
  5. 	for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)//找到这一列为1的行
  6. 	{
  7. 		for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)sxdel(j),size[p[j].lie]--;//将这一行删掉。
  8. 	}
  9. }

回溯：

  1. //这就不多讲了，不过就反过来罢了
  2. inline  void  back(int  x)//x的行数为0
  3. {
  4. 	nzydel(x);
  5. 	for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)
  6. 	{
  7. 		for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)nsxdel(j),size[p[j].lie]++;
  8. 	}
  9. }

优化

还没讲重点吧！

我们发现，输出答案的话，与一开始选择的列数并没有多大关系（原本是直接选择p[0].r），所以我们可以选择列数中节点最少的作为对象，减少递归次数！

  1. //递归过程
  2. int  dance(int  x)
  3. {
  4. 	if(!p[0].r)return  x;//结束，返回
  5. 	int  first,mi=999999999;
  6. 	for(int  i=p[0].r;i;i=p[i].r)//找最少列
  7. 	{
  8. 		if(size[p[i].lie]<mi)mi=size[p[i].lie],first=i;
  9. 	}
  10. 	if(mi==0)return  0;//有一列没有办法覆盖？返回0
  11. 	del(first);//先删除
  12. 	for(int  i=p[first].u;i!=first;i=p[i].u)
  13. 	{
  14. 		for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)del(p[j].lie);//将这一行能覆盖的区域删除
  15. 		int  tt=dance(x+1);//递归
  16. 		if(tt)return  tt;
  17. 		for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)back(p[j].lie);//回溯
  18. 	}
  19. 	back(first);
  20. 	return  0;
  21. }

这样就完了？

其实这样还很慢！

注意这里：

  1. for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)del(p[j].lie);//将这一行能覆盖的区域删除
  2. int  tt=dance(x+1);//递归
  3. if(tt)return  tt;
  4. for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)back(p[j].lie);//回溯

我们发现：

原本在删除的时候，第一个列与第二个列中相交的行数在第一次删除就没了，但是在回溯的时候，第一个列与第二个列中相交的行数在第一次回溯又回来了，而第二列中又多遍历了一遍，后面也是如此！

但是，这么打就没问题了：

  1. for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)del(p[j].lie);//将这一行能覆盖的区域删除
  2. int  tt=dance(x+1);//递归
  3. if(tt)return  tt;
  4. for(int  j=p[i].r;j!=i;j=p[j].r)back(p[j].lie);//回溯

完整代码：

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. using  namespace  std;
  4. int  a[2100];//添加时记录第i个1所在的列数
  5. struct  node
  6. {
  7.     int  l,r,u,d,lie,hang;//l代表左,r代表右,u代表上，d代表下，lie代表lie标记，为优化做准备，而hang则是hang坐标，经常能有许多有用的信息。
  8. };
  9. struct  DLX
  10. {
  11.     node  p[610000];int  len;//p代表链表，len代表节点数
  12.     int  size[2100],last[2100];//size代表第i列有多少节点，而last数组记录第i列的最后一个节点编号
  13.     inline  void  make(int  l,int  r,int  u,int  d,int  lie,int  hang){p[len].l=l;p[len].r=r;p[len].u=u;p[len].d=d;p[len].lie=lie;p[len].hang=hang;}//制造函数
  14.     inline  void  sxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[x].d;p[p[x].d].u=p[x].u;}//上下链表删除
  15.     inline  void  nsxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[p[x].d].u=x;}//上下链表还原
  16.     inline  void  zydel(int  x){p[p[x].l].r=p[x].r;p[p[x].r].l=p[x].l;}//左右链表删除
  17.     inline  void  nzydel(int  x){p[p[x].l].r=p[p[x].r].l=x;}//左右链表还原
  18.     inline  void  clear(int  x)//初始化x列
  19. 	{
  20. 		len=0;p[0].l=p[0].r=p[0].u=p[0].d=0;//将0号节点初始化
  21. 		for(int  i=1;i<=x;i++)//建x列
  22. 		{
  23. 			size[i]=0;last[i]=i;//重置size与last
  24. 			len++;make(i-1,p[i-1].r,i,i,i,0);//make制造第i列节点
  25. 			nzydel(i);//将左右的人指向自己
  26. 		}
  27. 	}
  28.     inline  void  add(int  row)//添加第row行
  29.     {
  30.     	if(a[0]==0)return  ;//其实不加也可以，即使下面make了一个没用的节点，但是并不会访问到它
  31.     	len++;make(len,len,last[a[1]],p[last[a[1]]].d,a[1],row);
  32.     	nsxdel(len);size[a[1]]++;last[a[1]]=len;//制造本行第一个节点
  33.     	for(int  i=2;i<=a[0];i++)//遍历
  34.     	{
  35.     		len++;make(len-1,p[len-1].r,last[a[i]],p[last[a[i]]].d,a[i],row);//制造第i个节点
  36.     		nsxdel(len);nzydel(len);size[a[i]]++;last[a[i]]=len;//让上下左右的节点指向自己。
  37.     	}
  38.     }
  39. 	//将第i列删除，同时将相关的行也彻底删除
  40.     inline  void  del(int  x)//注意：x的行数为0
  41.     {
  42.     	zydel(x);//先删掉第x列与其他列的练习
  43.     	for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)//找到这一列为1的行
  44.     	{
  45.     		for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)sxdel(j),size[p[j].lie]--;//将这一行删掉。
  46.     	}
  47.     }
  48.     //这就不多讲了，不过就反过来罢了
  49. 	inline  void  back(int  x)//x的行数为0
  50.     {
  51.     	nzydel(x);
  52.     	for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)
  53.     	{
  54.     		for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)nsxdel(j),size[p[j].lie]++;
  55.     	}
  56.     }
  57.     //递归过程
  58. 	int  dance(int  x)
  59.     {
  60.     	if(!p[0].r)return  x;//结束，返回
  61.     	int  first,mi=999999999;
  62.     	for(int  i=p[0].r;i;i=p[i].r)//找最少列
  63.     	{
  64.     		if(size[p[i].lie]<mi)mi=size[p[i].lie],first=i;
  65.     	}
  66.     	if(mi==0)return  0;//有一列没有办法覆盖？返回0
  67.     	del(first);//先删除
  68.     	for(int  i=p[first].u;i!=first;i=p[i].u)
  69.     	{
  70.     		for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)del(p[j].lie);//将这一行能覆盖的区域删除
  71.     		int  tt=dance(x+1);//递归
  72.     		if(tt)return  tt;
  73.     		for(int  j=p[i].r;j!=i;j=p[j].r)back(p[j].lie);//回溯
  74.     	}
  75.     	back(first);
  76.     	return  0;
  77.     }
  78. }dlx;
  79. int  main()
  80. {
  81. 	int  T;scanf("%d",&T);//多组数据
  82. 	while(T--)
  83. 	{
  84. 		int  n,m;scanf("%d%d",&n,&m);//输入
  85. 		dlx.clear(m);//初始化
  86. 		for(int  i=1;i<=n;i++)
  87. 		{
  88. 			for(int  j=1;j<=m;j++)
  89. 			{
  90. 				int  x;scanf("%d",&x);
  91. 				if(x)a[++a[0]]=j;
  92. 			}
  93. 			dlx.add(i);
  94. 			a[0]=0;//找到1的数量
  95. 		}
  96.         if(dlx.dance(0))printf("Yes\n");//输出
  97.         else  printf("No\n");
  98. 	}
  99. 	return  0;
  100. }

至此，普通DLX讲完了。

一些应用与应用中的再次优化（例题）。

啊哈，DLX只能解决精准覆盖问题？这么鸡肋？

不存在的！

其实，他还可以装逼、成为神犇通过转换模型等一系列方法做出一些要不断优化暴力才可以做出来的毒瘤题！

先介绍第一种应用：

重复覆盖问题

如题目所讲，在精准覆盖问题中，每一列只能被一个1覆盖，在这里可以被多个1覆盖，但是仍然要求每一列都要被覆盖，求最少用几行可以达到要求。

至于例题，上网搜神龙的问题，我上不去，所以。。。

但是，有一个更不错的例题哪里更不错了。。。

Radar

传送门！

T组数据

有N个城市，M个雷达，每次最多用K个雷达。

给你他们的坐标，判断雷达半径最少为多少才可以覆盖所有的城市。

  1. 1 ≤ T ≤ 20
  2. 1 ≤ N, M ≤ 50
  3. 1 ≤ K ≤ M
  4. 0 ≤ X, Y ≤ 1000

先输入N、M、K

然后给你N个城市的坐标与M个雷达的坐标（整数）

输出最小半径（保留6位小数）

1

3 3 2

3 4

3 1

5 4

1 1

2 2

3 3

2.236068

嗯，一道不错的二分DLX练手题

首先，二分+重复覆盖问题

删除选择的这一行与这一列

删除与回溯：

  1.     inline  void  del(int  x)//删除第x列，x的行数不为0
  2.     {
  3.         for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)zydel(i);
  4.     }
  5.     inline  void  back(int  x)//回溯，x的行数不为0
  6.     {
  7.         for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)nzydel(i);
  8.     }

嗯，然后我们就A了



真香。。。。

这就AC了？那么刀片店就要倒闭了。。。

因为del函数的变动，整个矩阵密度下降特别慢，结果导致悲剧的发生。

这个时候，我们就要用类似A中的期望函数了！（为什么不是IDA？没有迭代加深）。

期望函数就是：如果将能够覆盖当前列的所有行全部选中，去掉这些行能够覆盖到的列，将这个操作作为一步操作。重复此操作直到所有列都被覆盖时用了多少步，加上现在的步数，如果大于当前最小函数，就return ;

这句话参照了这位大佬的，我语文不好

这样的话，我们的重复覆盖问题也可以快得猛如虎了！

至于做法，二分半径，然后把城市当成列，然后雷达当成行，将雷达能覆盖的城市设为1，然后DLX，判断最小选的行数如果小于等于K，就合法。

上代码！

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. #include<cmath>
  4. #pragma GCC optimize(2)//不，你没有看到这句话
  5. using  namespace  std;
  6. typedef  long  long  ll;
  7. const  ll  inf=1e8;
  8. int  a[100],ans=0;
  9. struct  node
  10. {
  11.     int  l,r,u,d,lie,hang;
  12. };//双向十字链表
  13. struct  DLX
  14. {
  15. 	//大多函数以前打过注释，就不打了
  16.     node  p[210000];int  len;
  17.     int  size[100],last[100];
  18.     inline  void  make(int  l,int  r,int  u,int d,int  lie,int  hang){p[len].l=l;p[len].r=r;p[len].u=u;p[len].d=d;p[len].lie=lie;p[len].hang=hang;}
  19.     inline  void  sxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[x].d;p[p[x].d].u=p[x].u;}
  20.     inline  void  nsxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[p[x].d].u=x;}
  21.     inline  void  zydel(int  x){p[p[x].l].r=p[x].r;p[p[x].r].l=p[x].l;}
  22.     inline  void  nzydel(int  x){p[p[x].l].r=p[p[x].r].l=x;}
  23.     inline  void  clear(int  x)
  24.     {
  25.         p[0].l=p[0].r=p[0].u=p[0].d=0;len=0;
  26.         for(int  i=1;i<=x;i++)
  27.         {
  28.             size[i]=0;last[i]=i;
  29.             len++;make(i-1,p[i-1].r,i,i,i,0);
  30.             nzydel(len);
  31.         }
  32.     }
  33.     inline  void  add(int  row)
  34.     {
  35.         if(!a[0])return  ;
  36.         len++;make(len,len,last[a[1]],p[last[a[1]]].d,a[1],row);
  37.         nsxdel(len);size[a[1]]++;last[a[1]]=len;
  38.         for(int  i=2;i<=a[0];i++)
  39.         {
  40.             len++;make(len-1,p[len-1].r,last[a[i]],p[last[a[i]]].d,a[i],row);
  41.             nsxdel(len);nzydel(len);size[a[i]]++;last[a[i]]=len;
  42.         }
  43.     }
  44.     inline  void  del(int  x)//删除第x列，x的行数不为0
  45.     {
  46.         for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)zydel(i);
  47.     }
  48.     inline  void  back(int  x)//回溯，x的行数不为0
  49.     {
  50.         for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)nzydel(i);
  51.     }
  52.     bool  vis[100];
  53.     inline  int  ex()//A*期望函数
  54.     {
  55.         int  ret=0;
  56.         for(int  i=p[0].r;i;i=p[i].r)vis[i]=true;//初始化
  57.         for(int  i=p[0].r;i;i=p[i].r)
  58.         {
  59.             if(vis[i])
  60.             {
  61.                 ret++;
  62.                 vis[i]=false;
  63.                 for(int  j=p[i].u;j!=i;j=p[j].u)
  64.                 {
  65.                     for(int  kk=p[j].l;kk!=j;kk=p[kk].l)vis[p[kk].lie]=false;
  66.                 }
  67.             }
  68.         }
  69.         return  ret;
  70.     }
  71.     void  dance(int  x)
  72.     {
  73.         if(x+ex()>=ans)return  ;//A*优化
  74.         if(p[0].r==0)//得出答案
  75.         {
  76.             ans=x;
  77.             return  ;
  78.         }
  79.         int  first=0,mi=999999999;
  80.         for(int  i=p[0].r;i;i=p[i].r)
  81.         {
  82.             if(size[p[i].lie]<mi)mi=size[p[i].lie],first=i;
  83.         }
  84.         if(mi==0)return  ;
  85.         for(int  i=p[first].u;i!=first;i=p[i].u)
  86.         {
  87.         	del(i);//注意，不是del(first);
  88.             for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)del(j);//不是p[j].lie
  89.             dance(x+1);
  90.             for(int  j=p[i].r;j!=i;j=p[j].r)back(j);//回溯
  91.             back(i);//回溯
  92.         }
  93.     }
  94. }dlx;
  95. struct  pointss
  96. {
  97.     double  x,y;
  98. }lei[100],city[100];
  99. inline  double  dis(pointss  x,pointss  y){return  sqrt((x.x-y.x)*(x.x-y.x)+(x.y-y.y)*(x.y-y.y));}//计算距离
  100. int  main()
  101. {
  102.     int  T;scanf("%d",&T);
  103.     while(T--)
  104.     {
  105.         int  n,m,k;scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
  106.         for(int  i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&city[i].x,&city[i].y);
  107.         for(int  i=1;i<=m;i++)scanf("%lf%lf",&lei[i].x,&lei[i].y);//把他当成小数，方便以后计算dis
  108.         ll  l=0,r=1e11,mid,anss;//将double转成long long
  109.         while(l<=r)
  110.         {
  111.             mid=(l+r)/2;
  112.             double  WXP=mid/100000000.0;//计算出半径
  113.             dlx.clear(n);
  114.             for(int  i=1;i<=m;i++)
  115.             {
  116.                 a[0]=0;
  117.                 for(int  j=1;j<=n;j++)
  118.                 {
  119.                     if(dis(city[j],lei[i])<=WXP)a[++a[0]]=j;//建图。
  120.                 }
  121.                 dlx.add(i);
  122.             }
  123.             ans=999999999;dlx.dance(0);
  124.             if(ans<=k)anss=mid,r=mid-1;
  125.             else  l=mid+1;
  126.         }
  127.         printf("%.6lf\n",anss/100000000.0);//输出
  128.     }
  129.     return  0;
  130. }

数独才讲到

题目：

传说中把黄题做成了紫题的难度

9*9数独

约束条件：

  1. 一个格子填一个数字。
  2. 一行每个数字填一个。
  3. 一列每个数字填一个。
  4. 一宫每个数字填一个。

把约束条件变成列：

先把第一个约束条件写出来，用81列来代表，在i行j列填代表覆盖\((i-1)*9+j\)列

第二个约束条件，也用81列来代表，在第i行填k代表覆盖\(81+(i-1)*9+k\)列

第三个约束条件，也用81列来代表，在第j列填k代表覆盖\(162+(j-1)*9+k\)列

第四个约束条件，我们用一个公式计算出每个数字在第几宫：\(((i-1)/3)*3+(j-1)/3+1\)，而在第\(((i-1)/3)*3+(j-1)/3+1\)宫填k代表覆盖\(243+(((i-1)/3)*3+(j-1)/3)*9+k\)列。

然后把第i行第j列填k代表行，处理出他能覆盖那些列，建图，然后跑一遍，OK

但是我们还可以优化，由于数独中某些格子被填过，所以我们可以把这些格子所覆盖的区域先删掉，就可以达到优化时间的效果！

顺便提一下，这里面的行就可以起到带有附加权值的效果。

至于代码。。。丑

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. #include<cstdlib>
  4. using  namespace  std;
  5. int  a[1000];
  6. struct  point
  7. {
  8.     int  x,y,c;
  9.     inline  void  zh(int  tt){x=(tt-1)/81+1;y=((tt-1)%81)/9+1;c=((tt-1)%9)+1;}//将tt值转回来
  10. }ans[1000];
  11. struct  node
  12. {
  13.     int  l,r,u,d,lie,hang;
  14. };
  15. node  p[210000];int  len;
  16. int  size[1000],last[1000],map[11][11];
  17. bool  bol[1000];
  18. inline  void  make(int  l,int  r,int  u,int  d,int  lie,int  hang){p[len].l=l;p[len].r=r;p[len].u=u;p[len].d=d;p[len].lie=lie;p[len].hang=hang;}
  19. inline  void  sxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[x].d;p[p[x].d].u=p[x].u;}
  20. inline  void  nsxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[p[x].d].u=x;}
  21. inline  void  zydel(int  x){p[p[x].l].r=p[x].r;p[p[x].r].l=p[x].l;}
  22. inline  void  nzydel(int  x){p[p[x].l].r=p[p[x].r].l=x;}
  23. inline  void  clear(int  x)
  24. {
  25.     len=0;p[0].l=p[0].r=p[0].u=p[0].d=0;
  26.     for(int  i=1;i<=x;i++)
  27.     {
  28.             len++;make(i-1,p[i-1].r,i,i,i,0);
  29.             nzydel(i);size[i]=0;last[i]=i;
  30.     }
  31. }
  32. inline  void  add(int  row)
  33. {
  34.     if(!a[0])return  ;
  35.     len++;make(len,len,last[a[1]],p[last[a[1]]].d,a[1],row);
  36.     nsxdel(len);size[a[1]]++;last[a[1]]=len;
  37.     for(int  i=2;i<=a[0];i++)
  38.     {
  39.         len++;make(len-1,p[len-1].r,last[a[i]],p[last[a[i]]].d,a[i],row);
  40.         nsxdel(len);nzydel(len);size[a[i]]++;last[a[i]]=len;
  41.     }
  42. }
  43. inline  void  del(int  x)
  44. {
  45.     zydel(x);
  46.     for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)
  47.     {
  48.         for(int  j=p[i].r;j!=i;j=p[j].r)
  49.         {
  50.             sxdel(j),size[p[j].lie]--;
  51.         }
  52.     }
  53. }
  54. inline  void  back(int  x)
  55. {
  56.     nzydel(x);
  57.     for(int  i=p[x].d;i!=x;i=p[i].d)
  58.     {
  59.         for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)nsxdel(j),size[p[j].lie]++;
  60.     }
  61. }
  62. inline  bool  dance(int  x)
  63. {
  64. 	//打了无数遍的代码
  65.     if(!p[0].r)
  66.     {
  67.         for(int  i=1;i<=x;i++)
  68.         {
  69.             map[ans[i].x][ans[i].y]=ans[i].c;
  70.         }
  71.         for(int  i=1;i<=9;i++)
  72.         {
  73.             for(int  j=1;j<=8;j++)printf("%d ",map[i][j]);
  74.             printf("%d\n",map[i][9]);
  75.         }
  76.         return  true;
  77.     }
  78.     int  first=0,mi=999999999;
  79.     for(int  i=p[0].r;i;i=p[i].r)
  80.     {
  81.         if(size[p[i].lie]<mi)mi=size[p[i].lie],first=p[i].lie;
  82.     }
  83.     if(mi==0)return  false;
  84.     del(first);
  85.     for(int  i=p[first].u;i!=first;i=p[i].u)
  86.     {
  87.         for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)del(p[j].lie);
  88.         ans[x+1].zh(p[i].hang);
  89.         if(dance(x+1))return  true;
  90.         for(int  j=p[i].r;j!=i;j=p[j].r)back(p[j].lie);
  91.     }
  92.     back(first);
  93.     return  false;
  94. }
  95. int  main()
  96. {
  97.     memset(bol,false,sizeof(bol));//清0
  98.     clear(4*9*9);
  99.     for(int  i=1;i<=9;i++)
  100.     {
  101.         for(int  j=1;j<=9;j++)
  102.         {
  103.             scanf("%d",&map[i][j]);
  104.             if(map[i][j])
  105.             {
  106.                 bol[(i-1)*9+j]=true;
  107. //				dlx.del((i-1)*9+j);
  108.                 bol[81+(i-1)*9+map[i][j]]=true;
  109. //				dlx.del(81+(i-1)*9+dlx.map[i][j]);
  110.                 bol[162+(j-1)*9+map[i][j]]=true;
  111. //				dlx.del(162+(j-1)*9+dlx.map[i][j]);
  112.                 bol[243+(((i-1)/3)*3+(j-1)/3)*9+map[i][j]]=true;
  113. //				dlx.del(243+(((i-1)/3)*3+(j-1)/3)*9+dlx.map[i][j]);
  114.             }
  115.             else
  116.             {
  117.                 for(int  k=1;k<=9;k++)//枚举k
  118.                 {
  119.                 	if(!bol[81+(i-1)*9+k]  &&  !bol[162+(j-1)*9+k]  &&  !bol[243+(((i-1)/3)*3+(j-1)/3)*9+k])
  120.                 	{
  121.                 		a[0]=0;
  122.                         a[++a[0]]=(i-1)*9+j;
  123.                         a[++a[0]]=81+(i-1)*9+k;
  124.                         a[++a[0]]=162+(j-1)*9+k;
  125.                         a[++a[0]]=243+(((i-1)/3)*3+(j-1)/3)*9+k;
  126.                         add((i-1)*81+(j-1)*9+k);
  127.                     }
  128.                 }
  129.             }
  130.         }
  131.     }
  132.     for(int  i=1;i<=324;i++)//这个要打在外面，因为如果在for循环里面删除的话，会因为last并没有更新而导致在add里面把删除的节点重新还原
  133.     {
  134.     	if(bol[i])del(i);
  135.     }
  136.     dance(0);
  137.     return  0;
  138. }

浪费了我大好青春

练手题

八皇后：

传送门

提示：通过想约束条件，构建矩阵，不过要想清楚，斜线的情况

不懂看代码：

  1. //与数独不同的地方标出来了 
  3. #include<cstdio>
  4. #include<cstring>
  5. #include<cstdlib>
  6. #include<algorithm>
  7. using  namespace  std;
  8. int  a[1000],jie,anslen,now[50],n;
  9. struct  jians
  10. {
  11.     int  a[20];
  12. }anss[100000];
  13. inline  bool  cmp(jians  x,jians  y)
  14. {
  15.     for(int  i=1;i<=n;i++)
  16.     {
  17.         if(x.a[i]!=y.a[i])return  x.a[i]<y.a[i];
  18.     }
  19.     return  true;
  20. }
  21. struct  node
  22. {
  23.     int  l,r,u,d,lie,hang;
  24. };
  25. struct  DLX
  26. {
  27.     node  p[1000];int  len;
  28.     int  size[1000],last[1000];
  29.     inline  void  make(int  l,int r,int  u,int  d,int  lie,int  hang){p[len].l=l;p[len].r=r;p[len].u=u;p[len].d=d;p[len].lie=lie;p[len].hang=hang;}
  30.     inline  void  sxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[x].d;p[p[x].d].u=p[x].u;}
  31.     inline  void  nsxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[p[x].d].u=x;}
  32.     inline  void  zydel(int  x){p[p[x].l].r=p[x].r;p[p[x].r].l=p[x].l;}
  33.     inline  void  nzydel(int  x){p[p[x].l].r=p[p[x].r].l=x;}
  34.     inline  void  clear(int  x)
  35.     {
  36.         len=0;p[0].l=p[0].r=p[0].u=p[0].r=0;size[0]=999999999;
  37.         for(int  i=1;i<=x;i++)
  38.         {
  39.             len++;make(i-1,p[i-1].r,i,i,i,0);
  40.             nzydel(len);size[i]=0;last[i]=i;
  41.         }
  42.     }
  43.     inline  void  add(int  row)
  44.     {
  45.         if(!a[0])return  ;
  46.         len++;make(len,len,last[a[1]],p[last[a[1]]].d,a[1],row);
  47.         nsxdel(len);size[a[1]]++;last[a[1]]=len;
  48.         for(int  i=2;i<=a[0];i++)
  49.         {
  50.             len++;make(len-1,p[len-1].r,last[a[i]],p[last[a[i]]].d,a[i],row);
  51.             nsxdel(len);nzydel(len);size[a[i]]++;last[a[i]]=len;
  52.         }
  53.     }
  54.     inline  void  del(int  x)
  55.     {
  56.         zydel(x);
  57.         for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)
  58.         {
  59.             for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)sxdel(j),size[p[j].lie]--;
  60.         }
  61.     }
  62.     inline  void  back(int  x)
  63.     {
  64.         nzydel(x);
  65.         for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)
  66.         {
  67.             for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)nsxdel(j),size[p[j].lie]++;
  68.         }
  69.     }
  70.     inline  void  dance(int  x)
  71.     {
  72.     	if(p[0].r>jie  ||  !p[0].r)//这里不一样
  73.     	{
  74.     		anslen++;
  75.             for(int  i=1;i<=n;i++)anss[anslen].a[i]=now[i];
  76.             return  ;//记录答案
  77.         }
  78.         int  mi=0;
  79.         for(int  i=p[0].r;i<=jie;i=p[i].r)//稍稍有不同
  80.         {
  81.             if(size[p[i].lie]<size[p[mi].lie])mi=i;
  82.         }
  83.         del(mi);
  84.         for(int  i=p[mi].u;i!=mi;i=p[i].u)
  85.         {
  86.             for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)del(p[j].lie);
  87.             now[(p[i].hang-1)/n+1]=(p[i].hang-1)%n+1 ;
  88.             dance(x+1);
  89.             for(int  j=p[i].r;j!=i;j=p[j].r)back(p[j].lie);
  90.         }
  91.         back(mi);
  92.     }
  93. }dlx;
  94. inline  int  mymin(int  x,int  y){return  x<y?x:y;}
  95. int  main()
  96. {
  97.     scanf("%d",&n);
  98.     dlx.clear(6*n-2);jie=2*n;//由于斜线有2n-1个，所以只需满足横线与竖线的要求
  99.     for(int  i=1;i<=n;i++)
  100.     {
  101.         for(int  j=1;j<=n;j++)
  102.         {
  103.             a[0]=0;
  104.             a[++a[0]]=i;
  105.             a[++a[0]]=n+j;
  106.             a[++a[0]]=(2*n+(j-i)+n);
  107.             a[++a[0]]=(4*n-1+(i+j)-1);
  108.             dlx.add((i-1)*n+j);//建图不同
  109.         }
  110.     }
  111.     dlx.dance(0);
  112.     sort(anss+1,anss+anslen+1,cmp);//排序
  113.     int  edd=mymin(3,anslen);
  114.     for(int  i=1;i<=edd;i++)
  115.     {
  116.         for(int  j=1;j<n;j++)printf("%d ",anss[i].a[j]);
  117.         printf("%d\n",anss[i].a[n]);
  118.     }
  119.     printf("%d\n",anslen);
  120.     return  0;
  121. }
  122. //右斜：j-i+n
  123. //左斜：i+j-1

靶型数独：

传送门

DLX轻松AC：

  1. #include<cstdio>
  2. #include<cstring>
  3. using  namespace  std;
  4. int  a[1000],ans=-1,now;
  5. int  p[11][11]=
  6. {
  7.     {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
  8.     {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6,0},
  9.     {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6,0},
  10.     {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6,0},
  11.     {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6,0},
  12.     {0,6,7,8,9,10,9,8,7,6,0},
  13.     {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6,0},
  14.     {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6,0},
  15.     {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6,0},
  16.     {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6,0}
  17. };
  18. struct  node
  19. {
  20.     int  l,r,u,d,lie,hang,c;
  21. };
  22. struct  DLX
  23. {
  24.     node  p[210000];int  len;
  25.     int  size[1000],last[1000];
  26.     bool  bol[1000];
  27.     void  make(int  l,int  r,int  u,int  d,int  lie,int  hang,int  c){p[len].l=l;p[len].r=r;p[len].u=u;p[len].d=d;p[len].lie=lie;p[len].hang=hang;p[len].c=c;}
  28.     void  sxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[x].d;p[p[x].d].u=p[x].u;}
  29.     void  nsxdel(int  x){p[p[x].u].d=p[p[x].d].u=x;}
  30.     void  zydel(int  x){p[p[x].l].r=p[x].r;p[p[x].r].l=p[x].l;}
  31.     void  nzydel(int  x){p[p[x].r].l=p[p[x].l].r=x;}
  32.     void  clear(int  x)
  33.     {
  34.         len=0;p[0].l=p[0].r=p[0].u=p[0].d=0;size[0]=999999999;
  35.         for(int  i=1;i<=x;i++)
  36.         {
  37.             len++;make(i-1,p[i-1].r,i,i,i,0,0);
  38.             nzydel(len);size[i]=0;last[i]=i;
  39.         }
  40.     }
  41.     void  add(int  row,int  dis)
  42.     {
  43.         if(!a[0])return  ;
  44.         len++;make(len,len,last[a[1]],p[last[a[1]]].d,a[1],row,dis);
  45.         nsxdel(len);size[a[1]]++;last[a[1]]=len;
  46.         for(int  i=2;i<=a[0];i++)
  47.         {
  48.             len++;make(len-1,p[len-1].r,last[a[i]],p[last[a[i]]].d,a[i],row,dis);
  49.             nsxdel(len);nzydel(len);size[a[i]]++;last[a[i]]=len;
  50.         }
  51.     }
  52.     void  del(int  x)
  53.     {
  54.         zydel(x);
  55.         for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)
  56.         {
  57.             for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)sxdel(j),size[p[j].lie]--;
  58.         }
  59.     }
  60.     void  back(int x)
  61.     {
  62.         nzydel(x);
  63.         for(int  i=p[x].u;i!=x;i=p[i].u)
  64.         {
  65.             for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)nsxdel(j),size[p[j].lie]++;
  66.         }
  67.     }
  68.     int  ex(int  x){return  4050-x;}//A*剪枝，大概就是说假设每个格子的分数都是10，总分数是多少
  69.     void  dance(int  x)
  70.     {
  71.         if(now+ex(now)<=ans)return  ;//A*
  72.         if(!p[0].r)
  73.         {
  74.             if(now>ans)ans=now;//记录答案
  75.             return  ;
  76.         }
  77.         int  mi=0;
  78.         for(int  i=p[0].l;i;i=p[i].l)
  79.         {
  80.             if(size[p[i].lie]<size[p[mi].lie])mi=i;
  81.         }
  82.         if(!size[p[mi].lie])return  ;
  83.         del(mi);
  84.         for(int  i=p[mi].u;i!=mi;i=p[i].u)
  85.         {
  86.             for(int  j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)del(p[j].lie);
  87.             now+=p[i].c;
  88.             dance(x+1);
  89.             now-=p[i].c;
  90.             for(int  j=p[i].r;j!=i;j=p[j].r)back(p[j].lie);
  91.         }
  92.         back(mi);
  93.     }
  94. }dlx;
  95. int  main()
  96. {
  97.     memset(dlx.bol,false,sizeof(dlx.bol));
  98.     dlx.clear(324);
  99.     for(int  i=1;i<=9;i++)
  100.     {
  101.         for(int  j=1;j<=9;j++)
  102.         {
  103.             int  x;scanf("%d",&x);
  104.             if(x!=0)
  105.             {
  106.                 dlx.bol[(i-1)*9+j]=true;
  107.                 dlx.bol[81+(i-1)*9+x]=true;
  108.                 dlx.bol[162+(j-1)*9+x]=true;
  109.                 dlx.bol[243+(((i-1)/3)*3+(j-1)/3)*9+x]=true;
  110.                 now+=x*p[i][j];
  111.             }
  112.             else
  113.             {
  114.                 for(int  k=9;k>=1;k--)
  115.                 {
  116.                     if(!dlx.bol[81+(i-1)*9+k]  &&  !dlx.bol[162+(j-1)*9+k]  &&  !dlx.bol[243+(((i-1)/3)*3+(j-1)/3)*9+k])
  117.                     {
  118.                         a[0]=0;
  119.                         a[++a[0]]=(i-1)*9+j;
  120.                         a[++a[0]]=81+(i-1)*9+k;
  121.                         a[++a[0]]=162+(j-1)*9+k;
  122.                         a[++a[0]]=243+(((i-1)/3)*3+(j-1)/3)*9+k;
  123.                         dlx.add((i-1)*81+(j-1)*9+k,k*p[i][j]);//建图
  124.                     }
  125.                 }
  126.             }
  127.         }
  128.     }
  129.     for(int  i=1;i<=324;i++)//数独的剪枝
  130.     {
  131.         if(dlx.bol[i])dlx.del(i);
  132.     }
  133.     dlx.dance(0);
  134.     printf("%d\n",ans);
  135.     return  0;
  136. }

完结撒花

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