7/26 CSU-ACM2018暑期训练3-递归&递推-选讲

题目链接

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1

7 3

Sample Output

8

   分析：
        设f(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论，
        当n>m：必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)　　
        当n<=m：不同的放法可以分成两类：
        1、有至少一个盘子空着，即相当于f(m,n) = f(m,n-1);
        2、所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m,n) = f(m-n,n).
        而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)
    递归出口条件说明：
        当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；
        当没有苹果可放时，定义为１种放法；
        递归的两条路，第一条n会逐渐减少，终会到达出口n==1;
        第二条m会逐渐减少，因为n>m时，我们会return f(m,m)　所以终会到达出口m==0．

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<sstream>
#include<list>
#include<assert.h>
#include<bitset>
#include<numeric>
#define debug() puts("++++")
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sz size()
#define be begin()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
#define all 1,n,1
#define rep(i,x,n) for(int i=(x); i<(n); i++)
#define in freopen("in.in","r",stdin)
#define out freopen("out.out","w",stdout)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LNF = 1e18;
const int maxn = 1e3 + 20;
const int maxm = 1e6 + 10;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int dx[] = {-1,1,0,0,1,1,-1,-1};
const int dy[] = {0,0,1,-1,1,-1,1,-1};
int dir[4][2] = {{0,1},{0,-1},{-1,0},{1,0}};
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
ll n,m;
double a[150];
ll f(ll n,ll m) //n个苹果 m个盘子
{
    if(n==0 || m==1) return 1;
    else
    {
        if(m>n) return f(n,n);
        else return f(n,m-1)+f(n-m,m);
    }
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        cout<<f(n,m)<<endl;
    }
}

Disky and Sooma, two of the biggest mega minds of Bangladesh went to a far country. They ate, coded

and wandered around, even in their holidays. They passed several months in this way. But everything

has an end. A holy person, Munsiji came into their life. Munsiji took them to derby (horse racing).

Munsiji enjoyed the race, but as usual Disky and Sooma did their as usual task instead of passing some

romantic moments. They were thinking- in how many ways a race can finish! Who knows, maybe this

is their romance!

In a race there are n horses. You have to output the number of ways the race can finish. Note that,

more than one horse may get the same position. For example, 2 horses can finish in 3 ways.

1. Both first
2. horse1 first and horse2 second
3. horse2 first and horse1 second
   
   Input
   
   Input starts with an integer T (≤ 1000), denoting the number of test cases. Each case starts with a
   
   line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 1000).
   
   Output
   
   For each case, print the case number and the number of ways the race can finish. The result can be
   
   very large, print the result modulo 10056.
   
   Sample Input
   
   3
   
   1
   
   2
   
   3
   
   Sample Output
   
   Case 1: 1
   
   Case 2: 3
   
   Case 3: 13
   
   【题意】：给定n匹马，要求出可能的排名情况（可能并列）
   
   【分析】：组合数学+DP；
   
   假设n个人比赛时的名次种数为dp[n]，假设第一名有i个，则有C(n，i)种可能——从n匹马选任意i个并列第一，接下来有dp[ n - i ]种可能性，运用乘法原理求组和；所以dp[ n ] += C[n，i] * dp[ n - i ] (注意！枚举i为1到n并且求和/加法原理)

递推公式：
f（n）= ∑ C（n，i）* f（n-i）  （1≤ i ≤n）
f(0)=1
可以列出前几项，
n=1 f(1)=f(0)
n=2 C(2,1)*f(1)+C(2,2)*f(0)
n=3 C(3,1)*f(2)+C(3,2)*f(1)+C(3,3)*f(0)
…… 依次类推

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<sstream>
#include<list>
#include<numeric>
#define debug() puts("++++")
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sz size()
#define be begin()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
#define all 1,n,1
#define rep(i,x,n) for(int i=(x); i<(n); i++)
#define repe(i,x,n) for(int i=(x); i<=(n); i++)
#define in freopen("in.in","r",stdin)
#define out freopen("out.out","w",stdout)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 10056;
const ll LNF = 1e18;
const int maxn = 1e4;
const int maxm = 1e6 + 10;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int dx[] = {-1,1,0,0,1,1,-1,-1};
const int dy[] = {0,0,1,-1,1,-1,1,-1};
int dir[4][2] = {{0,1},{0,-1},{-1,0},{1,0}};
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
ll n,m;
ll a[maxn][maxn];
ll dp[maxn];
void init()
{
    a[0][0]=1;
    dp[0]=dp[1]=1;
    repe(i,1,1000)
    {
        a[i][0]=1;
        repe(j,1,i)
        {
            a[i][j]=(a[i-1][j]+a[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
    repe(i,2,1000)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            dp[i]=(dp[i]+a[i][j]*dp[i-j])%mod;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int t,cas=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        cout<<"Case "<<++cas<<": "<<dp[n]<<endl;
    }
}

在一次游戏中使用了N个盘子时，他需要多少次移动才能把他们都移到第三个柱子上？很显然，在没有第四个柱子时，问题的解是2^N-1，但现在有了这个柱子的帮助，又该是多少呢？

Input

包含多组数据，每个数据一行，是盘子的数目N(1<=N<=64)。

Output

对于每组数据，输出一个数，到达目标需要的最少的移动数。

Sample Input

1

3

12

Sample Output

1

5

81

【四柱汉诺塔】：

作者：酱紫君

链接：https://www.zhihu.com/question/24385418/answer/282940567

来源：知乎

著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

三个盘子的汉诺塔你总会吧:



然后你移完发现左边柱子下面又蹦出来一个盘子

好吧, 那就把中间的柱子看成目标柱然后把最大的移到右边, 然后就和搬三个一模一样了更多的话也是一样的..

所以说一共就三步

把 n-1 号盘子移动到缓冲区

把1号从起点移到终点

然后把缓冲区的n-1号盘子也移到终点

---

变体汉诺塔

问题描述：在经典汉诺塔的基础上加一个条件，即，如果再加一根柱子（即现在有四根柱子a,b,c,d)，计算将n个盘从第一根柱子(a)全部移到最后一根柱子(d)上所需的最少步数，当然，也不能够出现大的盘子放在小的盘子上面。注：1<=n<=64;

分析：设F[n]为所求的最小步数，显然，当n=1时，F[n]=1;当n=2时，F[n]=3;如同经典汉诺塔一样，我们将移完盘子的任务分为三步：

（1）将x(1<=x<=n)个盘从a柱依靠b,d柱移到c柱，这个过程需要的步数为F[x];

（2）将a柱上剩下的n-x个盘依靠b柱移到d柱（注：此时不能够依靠c柱，因为c柱上的所有盘都比a柱上的盘小）

些时移动方式相当于是一个经典汉诺塔，即这个过程需要的步数为2^(n-x)-1（证明见再议汉诺塔一）；

（3）将c柱上的x个盘依靠a,b柱移到d柱上，这个过程需要的步数为F[x];

第（3）步结束后任务完成。

故完成任务所需要的总的步数F[n]=F[x]+2^{(n-x)-1+F[x]=2*F[x]+2}(n-x)-1;但这还没有达到要求，题目中要求的是求最少的步数，易知上式，随着x的不同取值，对于同一个n，也会得出不同的F[n]。即实际该问题的答案应该min{2*F[x]+2^(n-x)-1},其中1<=x<=n;在用高级语言实现该算法的过程中，我们可以用循环的方式，遍历x的各个取值，并用一个标记变量min记录x的各个取值中F[n]的最小值。

数值不是很大，int完全可以搞定

【参考论文】：论文链接

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<sstream>
#include<list>
#include<numeric>
#define debug() puts("++++")
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sz size()
#define be begin()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
#define all 1,n,1
#define rep(i,x,n) for(int i=(x); i<(n); i++)
#define repe(i,x,n) for(int i=(x); i<=(n); i++)
#define in freopen("in.in","r",stdin)
#define out freopen("out.out","w",stdout)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 10056;
const ll LNF = 1e18;
const int maxn = 1e4;
const int maxm = 1e6 + 10;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int dx[] = {-1,1,0,0,1,1,-1,-1};
const int dy[] = {0,0,1,-1,1,-1,1,-1};
int dir[4][2] = {{0,1},{0,-1},{-1,0},{1,0}};
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

int main()
{
    int a[100],i,n,j;
    a[1]=1;a[2]=3;
    for(i=3;i<65;i++)
    {
        int min=99999999;
        for(j=1;j<i;j++)
        {
            if(2*a[j]+pow(2.0,i-j)-1<min)
                min=2*a[j]+pow(2.0,i-j)-1;
        }
        a[i]=min;
    }
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",a[n]);
    }
    return 0;
}

We will construct an infinitely long string from two short strings: A = "^__" (four characters), and B = "T.T" (three characters). Repeat the following steps:

Concatenate A after B to obtain a new string C. For example, if A = "^__" and B = "T.T", then C = BA = "T.T^__".

Let A = B, B = C -- as the example above A = "T.T", B = "T.T^__".

Your task is to find out the n-th character of this infinite string.

Input

The input contains multiple test cases, each contains only one integer N (1 <= N <= 2^63 - 1). Proceed to the end of file.

Output

For each test case, print one character on each line, which is the N-th (index begins with 1) character of this infinite string.

Sample Input

1

2

4

8

Sample Output

T

.

^

T

【题意】：

设A="^__"(4个字符），B="T,T"(3个字符），然后以AB为基础，构造无限长的字符串。重复规则如下：

（1）把A接在B的后面构成新的字符串C。例如，A="^__",B="T.T", 则C=BA="T.T^__"。

（2）令A=B，B=C，如上例所示，则A="T.T",B="T.T^__"。

给出此无限长字符串中的第n个字符。

【分析】：

(1) 如果从字符串的长度考虑：

a=strlen("^__") ->a=4

b=strlen("T.T) ->b=3

c=strlen("T.T^__) ->c=7

再按照题目给定的步骤重复，我们就很容易发现，这正是以a,b为基数的斐波那契（Fibonacci)数列。

对于输入的正整数n,它对应的字符位于经过若干次按斐波那契数列的规律叠加后的字符串中。

无论字符串如何叠加，该位置的字符总是在字符串C中。【C=BA="T.T^__"】

本题就变成给定一个正整数n,求出小于n的最大斐波那契数，n与该斐波那契数的差正是该字符在另一个更短的字符串C中的位置。 【C=BA="T.T^__"】

输出时要注意，string类型的字符串的位置是从0开始编号的，所以用这个差值当下标时需要减去1！

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<sstream>
#include<list>
#include<numeric>
#define debug() puts("++++")
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sz size()
#define be begin()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
#define all 1,n,1
#define rep(i,x,n) for(int i=(x); i<(n); i++)
#define in freopen("in.in","r",stdin)
#define out freopen("out.out","w",stdout)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LNF = 1e18;
const int maxn = 90;
const int maxm = 1e6 + 10;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int dx[] = {-1,1,0,0,1,1,-1,-1};
const int dy[] = {0,0,1,-1,1,-1,1,-1};
int dir[4][2] = {{0,1},{0,-1},{-1,0},{1,0}};
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
ll n,m;
ll a[maxn+5];
char *s="T.T^__^";
void init()
{
    a[0]=4;
    a[1]=3;
    for(ll i=2;i<maxn;i++)
    {
        a[i] = a[i-1] + a[i-2];
    }
}
int main()
{
    init();
    while(~scanf("%lld",&n))
    {

        while(n>7)
        {
            ll pos = lower_bound(a,a+maxn,n)-a;
            n -= a[pos-1]; //n与该斐波那契数的差正是该字符在另一个更短的字符串C中的位置
        }
        printf("%c\n",s[n-1]);//字符串的位置是从0开始编号的，所以用这个差值当下标时需要减去1
    }
}