[AGC025E]Walking on a Tree
题意:有一棵树,你要按顺序在树上走$m$次,每次从$u_i$到$v_i$或从$v_i$到$u_i$,走完后,如果一条边被单向经过,那么它贡献$1$的价值,如果一条边被双向经过,那么它贡献$2$的价值,给出所有的$(u_i,v_i)$,你要安排每次走路的方向以最大化价值
设边$i$被经过的次数为$c_i$,容易看出答案的上界是$\sum\min(c_i,2)$,下面我们构造性地说明这个上界总可以被达到
如果$n=1$,树中没有边,接下来考虑$n\gt1$
任选一个叶子$u$,设$e$为连接它的唯一一边,$v$为$e$的另一端点
如果$c_e=0$,直接删掉$u$,这对答案没有影响
如果$c_e=1$,我们也可以删掉$u$,只不过经过$u$的那条路径的端点要缩至$v$,此时$e$贡献的价值为$1$
如果$c_e\geq2$,不停地选取两条路径$(u,a)$和$(u,b)$,那么我们可以把$(u,a)$和$(u,b)$换为$(a,b)$,如果$(a,b)$最终被决定为$a\rightarrow b$,那么还原过来就是$a\rightarrow u,u\rightarrow b$,否则是$b\rightarrow u,u\rightarrow a$,设$(u,c)$为$(u,a)$和$(u,b)$的交,那么$(u,c)$上的每一条边都一定能被双向经过,所以$e$贡献的价值为$2$,重复这个过程直至$c_e\lt2$,这样就构造性地说明了我们可以达到上界
我写得比较丑,毕竟是STL不用钱系列...
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<vector> using namespace std; int h[2010],nex[4010],to[4010],dep[2010],fa[2010],fav[2010],M; void add(int a,int b){ M++; to[M]=b; nex[M]=h[a]; h[a]=M; } void dfs(int x){ dep[x]=dep[fa[x]]+1; for(int i=h[x];i;i=nex[i]){ if(to[i]!=fa[x]){ fa[to[i]]=x; dfs(to[i]); } } } void col(int x,int y){ if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); while(dep[x]>dep[y]){ fav[x]++; x=fa[x]; } while(x!=y){ fav[x]++; fav[y]++; x=fa[x]; y=fa[y]; } } struct rt{ int x,y; rt(int a=0,int b=0){x=a;y=b;} }; bool operator==(rt a,rt b){return a.x==b.x&&a.y==b.y;} int d[2010],n; vector<rt>solve(vector<rt>v){ if(v.size()==0)return v; int x,u,i; for(x=1;x<=n;x++){ if(d[x]==1)break; } if(x>n)return v; for(i=h[x];i;i=nex[i]){ if(d[to[i]]){ u=to[i]; break; } } d[x]--; d[u]--; vector<rt>lx,nv; vector<int>id; int pos[2010]; memset(pos,-1,sizeof(pos)); for(i=0;i<(int)v.size();i++){ if(v[i].x==x||v[i].y==x){ lx.push_back(v[i]); id.push_back(i); }else{ nv.push_back(v[i]); pos[i]=nv.size()-1; } } if(lx.size()==0)return solve(v); for(i=0;i+1<(int)lx.size();i+=2){ if(lx[i].y==x)swap(lx[i].x,lx[i].y); if(lx[i+1].y==x)swap(lx[i+1].x,lx[i+1].y); if(lx[i]==lx[i+1]){ if(v[id[i]]==v[id[i+1]])swap(v[id[i]].x,v[id[i]].y); continue; } nv.push_back(rt(lx[i].y,lx[i+1].y)); pos[id[i]]=pos[id[i+1]]=nv.size()-1; } if(lx.size()&1){ if(lx[lx.size()-1].y==x)swap(lx[lx.size()-1].x,lx[lx.size()-1].y); if(lx[lx.size()-1].y!=u){ nv.push_back(rt(u,lx[lx.size()-1].y)); pos[id[lx.size()-1]]=nv.size()-1; } } nv=solve(nv); for(i=0;i<(int)v.size();i++){ if(pos[i]!=-1&&!(v[i].x==nv[pos[i]].x||v[i].y==nv[pos[i]].y))swap(v[i].x,v[i].y); } return v; } vector<rt>v; int main(){ int m,i,x,y,ans; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<n;i++){ scanf("%d%d",&x,&y); add(x,y); add(y,x); d[x]++; d[y]++; } dfs(1); for(i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d",&x,&y); v.push_back(rt(x,y)); col(x,y); } v=solve(v); ans=0; for(i=2;i<=n;i++)ans+=min(2,fav[i]); printf("%d\n",ans); for(rt t:v)printf("%d %d\n",t.x,t.y); }
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