【数学建模】灰色系统理论II-Verhulst建模-GM(1,N)-GM(2,1)建模

灰色系统理论中，GM(1,1)建模很常用，但他是有一定适应范围的。

GM(1,1)适合于指数规律较强的序列，只能描述单调变化过程。对于具有一定随机波动性的序列，我们考虑使用Verhulst预测模型，或者GM(2,1)模型。

Verhulst和GM(2,1)适合于非单调的摆动发展序列或者具有饱和状态的 S 形序列。

Verhulst预测模型

Verhulst模型的定义如下：

对于模型参数，使用最小二乘估计有以下结果：

最终，可以求得灰色Verhulst的解为：

Verhulst模型应用：道路交通事故预测

对于交通事故死亡人数统计数据，我们首先做出大体曲线变化图，以从整体上着手。

可见曲线呈现S型，考虑使用verhulst建模。建模过程如下：

最后我们还要进行一步模型精度检验。灰色模型有一套具体的检验标准，后注。

检验三个指标：相对误差、绝对关联度、均方差比值。利用MATLAB检验结果如下：

可见：

平均相对误差为 3.74%  ，则模型精度为二级；同时算得绝对关联度 g 为 0.9845，
均方差比值 C 为 0.2355，则模型精度为一级，可见模型精度较高，可用于事故预测。

附MATLAB程序：

 clc,clear
  x1=[4.93 5.33 5.87 6.35 6.63 7.15 7.37...
  7.39 7.81 8.35 9.39 10.59 10.94 10.44];
  n = length(x1);
  nian=:;
  plot(nian,x1,'o-');
 x0=diff(x1); %作累减生成
 x0=[x1(),x0]
  z1=0.5*(x1(:n)+x1(:n-)) %求紧邻均值生成序列
 B=[-z1',z1'.^]
  Y=x0(:end)'
  ab_hat=B\Y %估计参数 a,b 的值
 x=dsolve('Dx+a*x=b*x^2','x(0)=x0'); %求解常微分方程
 x=subs(x,{'a','b','x0'},{ab_hat(),ab_hat(),x1()}); %代入参数值
 yuce=subs(x,'t',:) %计算预测值
 %下面显示微分方程的解，为了提高计算精度，把该语句放在计算预测值之后
 x=vpa(x,)
  x1_all=[x1,9.92,10.71]; %加上  年的两个观测值
 yuce()=yuce(); % 年有两个观测值，要对应两个相同的预测值
 epsilon=x1_all-yuce %计算残差
 delta=abs(epsilon./x1_all) %计算相对误差
 delta_mean=mean(delta) %计算平均相对误差
 x1_all_0=x1_all-x1_all(); %观测值数据列的始点零化像
 yuce_0=yuce-yuce(); %预测值数据列的始点零化像
 s0=abs(sum(x1_all_0(:end-))+0.5*x1_all_0(end));
  s1=abs(sum(yuce_0(:end-))+0.5*yuce_0(end));
  tt=yuce_0-x1_all_0;
  s1_s0=abs(sum(tt(:end-))+0.5*tt(end));
  absdegree=(+s0+s1)/(+s0+s1+s1_s0) %计算灰色绝对关联度
 c=std(epsilon,)/std(x1_all,) %计算标准差比值

灰色预测模型检验标准：

1. 残差合格模型

2. 关联度合格模型

3. 均方差比合格模型

由上可知，给定一组取值，就确定了检验模型精度的一个等级。常用的精度等级见下表：

GM(2,1)模型和DGM模型

1. GM(2,1)模型

弱化算子

对于初期增长势头过于猛烈的模型，为了提高精度，可以考虑使用弱化算子处理原始数列。

对应的，依旧是最小二乘估计参数，再对微分方程求解，得到：

2. DGM(2,1)模型

证明略。

GM(1,N)模型和GM(0,N)模型

1. GM(1,N)

2. GM(0,N)模型

总结：灰色预测法与传统统计方法的比较