HDU 2204 Eddy's 爱好 (容斥原理)
<题目链接>
题目大意:
Ignatius 喜欢收集蝴蝶标本和邮票,但是Eddy的爱好很特别,他对数字比较感兴趣,他曾经一度沉迷于素数,而现在他对于一些新的特殊数比较有兴趣。
这些特殊数是这样的:这些数都能表示成M^K,M和K是正整数且K>1。
正当他再度沉迷的时候,他发现不知道什么时候才能知道这样的数字的数量,因此他又求助于你这位聪明的程序员,请你帮他用程序解决这个问题。
为了简化,问题是这样的:给你一个正整数N,确定在1到N之间有多少个可以表示成M^K(K>1)的数。
解题分析:
解决本题需要先知道一个结论:在一个区间[1,n]中,能被开平方的数一共有 个。同理,在区间[1,n]中,能被开立方的数一共有个.....更一般的,能够被开k次方的数一共会有个数。
因为$k$是幂数,所以$k$在本题的范围很小,考虑枚举$k$。对于$k$,假设$k$是合数,那么k一定能够被分解为若干个质数相乘的形式,而这些质数在前面枚举的时候就会被考虑到,所以我们只需要枚举k为质数的情况。而即使是2作为底数,$2^{60}$就已经大于$10^{18}$,所以我们只需要考虑k为小于60的质数的情况。
k为所有质数的情况中,有一些情况会被重复计算,这个时候就需要用到容斥原理了。因为2*3*5>60,所以我们只需要考虑3个质数相互组合容斥的情况。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; #define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
typedef long long ll; const int prime[]={ ,,,,,,,,,,,,,,,, };
ll n; inline ll solve(ll k){ //利用结论计算这个区间内能被开(1/k)次方的数的个数(1除外)
return pow(n,1.0/k)-;
} int main(){
while(cin>>n){
ll ans1=,ans2=,ans3=;
rep(i,,)ans1+=solve(prime[i]);
rep(i,,) rep(j,i+,){
ans2+=solve(prime[i]*prime[j]);
}
rep(i,,) rep(j,i+,) rep(k,j+,){
ans3+=solve(prime[i]*prime[j]*prime[k]);
}
cout<<ans1+ans3-ans2+<<endl;
}
}
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