【同余方程组】POJ1006 生理周期
同余方程组:
先来看一道题目:有物不知其数,三三数之剩二;五五数之剩三;七七数之剩二。问物几何? 然后我们可以做如下变换,设x为所求的数。
x%3=2 x ≡ a1(%m1) ①
x%5=3 ===> x ≡ a2(%m2) ②
x%7=2 x ≡ a3(%m3)
根据前面两式可以得到
x = a1+m1y1 (1)
x = a2+m2y2
两式相减得到 m1y1 - m2y2 = a2 - a1 这是一个线性不定方程,可解出y1 ---> linearEquation(m1,-m2,a2-a1) 带回(1),得特解x0 = a1+m1*y1 --> 得到通解表达式 x =x0 + k*lcm(m1,m2) 得一个新方程 x = x0 (mod lcm(m1,m2))
代码:
/**
*
* @param a 余数组成的数组
* @param m 模组成的数组
* @return
* @throws Exception
*/
public static long linearEquationGroup(Long[] a, Long[] m) throws Exception {
int len = a.length;
if (len == 0 && a[0] == 0)
return m[0]; for (int i = 1; i < len; i++) {
// 这里往前看是两个方程
long a2_a1 = a[i] - a[i - 1];
long d = linearEquation(m[i - 1], -m[i], a2_a1);
// 现在的x是y1,用y1求得一个特解
long x0 = a[i - 1] + m[i - 1] * x;
long lcm = m[i - 1] * m[i] / d;
a[i] = (x0 % lcm + lcm) % lcm;// x0变成正数
m[i] = lcm;
}
// 合并完之后,只有一个方程 : x = a[len-1] (% m[len-1])
//long d = linearEquation(1, m[len-1], a[len-1]);
return a[len - 1] % m[len - 1];
}
题目:POJ1006 生理周期
代码:
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner; public class POJ1006 { public static void main(String[] args) throws Exception {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int t = 1;
List<Long[]> aList = new ArrayList<Long[]>();
List<Long> dList = new ArrayList<Long>();
while(scanner.hasNext()){
Long []a = {scanner.nextLong(),scanner.nextLong(),scanner.nextLong()};
Long d = scanner.nextLong();
if (a[0]==-1&&a[1]==-1&&a[2]==-1&&d==-1) {
break;
}else {
aList.add(a);
dList.add(d);
}
}
for (int i = 0; i < aList.size(); i++) {
Long[] a = aList.get(i);
long d = dList.get(i);
Long[] m = { (long) 23, (long) 28, (long) 33 };
long res = MyGcd.linearEquationGroup(a, m);
while (res <= d) {
res += 21252;
}
System.out.println("Case " + (t++) + ": the next triple peak occurs in " + (res - d) + " days.");
}
} private static class MyGcd {
static long x;
static long y; /**
*
* @param a 余数组成的数组
* @param m 模组成的数组
* @return
* @throws Exception
*/
public static long linearEquationGroup(Long[] a, Long[] m) throws Exception {
int len = a.length;
if (len == 0 && a[0] == 0)
return m[0]; for (int i = 1; i < len; i++) {
// 这里往前看是两个方程
long a2_a1 = a[i] - a[i - 1];
long d = linearEquation(m[i - 1], -m[i], a2_a1);
// 现在的x是y1,用y1求得一个特解
long x0 = a[i - 1] + m[i - 1] * x;
long lcm = m[i - 1] * m[i] / d;
a[i] = (x0 % lcm + lcm) % lcm;// x0变成正数
m[i] = lcm;
}
// 合并完之后,只有一个方程 : x = a[len-1] (% m[len-1])
//long d = linearEquation(1, m[len-1], a[len-1]);
return a[len - 1] % m[len - 1];
} public static long inverseElement(long a, long mo) throws Exception { long d = linearEquation(a, mo, 1);
x = (x % mo + mo) % mo;
return d;
} public static long linearEquation(long a, long b, long m) throws Exception {
long d = ext_gcd(a, b);
// m不是gcd(a,b)的倍数,这个方程无解
if (m % d != 0)
throw new Exception("无解");
long n = m / d;// 约一下,考虑m是d的倍数
x *= n;
y *= n;
return d;
} public static long ext_gcd(long a, long b) { if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
long res = ext_gcd(b, a % b);
long x1 = x;// 备份x
x = y;// 更新x
y = x1 - a / b * y;// 更新y
return res;
} } }
结果:
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