3D数学读书笔记——矩阵基础番外篇之线性变换

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前面有一篇文章讨论过多坐标系的问题。有的人可能会问我那么多坐标系，它们之间怎么关联呢？嘿嘿~这次的内容能够为解决问题打基础奥。

线性变换基础（3D数学编程中。形式转换常常是错误的根源，所以这部分大家要多多思考，细致运算）

一般来说，方阵（就是行和列都相等的矩阵）能描写叙述随意的线性变换，所以后面我们一般用方阵来变换

事实上简单的说。线性变换就是保留直线和平行线，原点没有移动。而其它的几何性质。如长度、角度、面积和体积可能被改变。

从视觉的直观角度上讲，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”和“卷折”坐标系（毕竟是“线性”的变换嘛，不然可能就叫做曲线变换了）。

以下先引入一个直观的变换样例：

先在单位基向量处画一个茶壶

然后我们给出一个变换矩阵

然后我们让这个茶壶的坐标按上面的矩阵经行变换

这个变换包括z轴顺时针旋转45°和不规则缩放。

在讨论详细的变换之前。还必需要搞清楚。我们究竟要变换什么。在这里我们所提到的变换，其内容主要就两个：变换物体和变换坐标系。

变换物体，意味着变换物体上全部的点，这这点将被移动到一个新的位置，我们仍使用同一坐标系来描写叙述变换前和变换后的位置。

变换坐标。意味着物体上的点实际没有移动。我们仅仅是在另外一个坐标系中描写叙述它的位置而已。

事实上这两种变换实际上是等价的。将物体变换一个量等价于将坐标系变换一个相反的量。

ps:以下我们实现的变换都是物体变换

旋转

2D中绕原点旋转的參数仅仅有一个：角度θ，它描写叙述了旋转量。（逆时针旋转常常被觉得是正方向。顺时针方向时负方向）

依据几何知识我们可知旋转矩阵应该为

在3D场景中，一般都是绕轴旋转，而且在绕轴旋转θ°时，必须知道哪个方向别觉得“正”，哪个方向被觉得“负”。

在左手坐标系中定义此方向的规则为左手规则

左手坐标系
从哪里看	正方向	负方向
从轴的负端点向正端点看	逆时针	顺时针
从轴的正端点向负端点看	顺时针	逆时针

绕轴变换中最为常见的就是绕坐标轴旋转

X轴

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可得到变换矩阵

同理得到Y轴和Z轴的变换公式

Y轴

Z轴

ps：对于随意轴的旋转，可能等我们学完了平移。将随意轴平移旋转至坐标轴变换后在移后就可以。

缩放

通过比例因子K按比例变大或缩小来缩放物体。

假设在各方向应用同比例的缩放。且沿原点“扩张”物体。那么就是均匀缩放。（均匀缩放能够保持物体的角度和比例不变）

假设须要挤压或拉伸物体，在不同方向应用不同的因子就可以，这称作非均匀缩放。（非均匀缩放时，物体角度将发生变化）

ps：假设 |k|<1 ，物体将变短。假设 |k|>1，物体变长。假设 |k|=0，就是正交投影。

最简单的缩放方法是沿着每一个坐标轴应用单独的缩放因子。

2D中有两个缩放因子。和。缩放矩阵为：

缩放实例

对于3D，须要添加第三个缩放因子，3D缩放矩阵：

正交投影（平行投影）（投影意味着降维操作）

有一种投影方法是在某个方向上用零作为缩放因子。这样的情况下，全部点都被拉平至垂直的轴或平面上，这样的投影称作正交投影。

最简单的投影方式是向坐标轴或平面投影。

在2D环境下。向 x 轴投影

在2D环境下，向 y 轴投影

在3D环境下，向 xy 平面投影、向xz平面投影和向yz平面投影的矩阵

正交投影效果图

镜像（反射）

镜像是一种变换。起、其作用是将物体沿直线，或平面翻折。

ps：一个物体仅仅能镜像一次，假设再次镜像物体将翻回正面，这和在原位置旋转物体的效果一样了。

在2D环境下，沿随意轴镜像的矩阵为

当中向量n为随意轴方向的单位向量，比如假设随意轴为x轴，则n=(1,0)，所以关于x轴的镜像矩阵为

在3D环境下，沿随意轴镜像的矩阵为

切变

切变是一种坐标系“扭曲”变换，非均匀地拉伸它。这是一种非常少用到的变换，它也被称作扭曲变换。

切变的时候角度会发生变化，可是令人惊奇的是面积和体积却保持不变。

切变的基本实现思想是，某一坐标的乘积加到还有一个坐标上去：x' = x + sy。

在2D环境下。x坐标依据坐标y以參数s控制切变方向和向量的切变矩阵

在2D环境下。y坐标依据坐标x以參数s控制切变方向和向量的切变矩阵

3D坐标中的切变矩阵两个坐标轴别还有一个坐标轴改变的矩阵

-End-

參考文献：（1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》

（2）百度百科