51Nod 1317 相似字符串对

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分析：

考虑两个串的关系：$A+C=C+B$，我们观察可以发现，$A$和$B$是循环同构的，如果$A=G+H$，那么$B=H+G$，证明略长懒得写了...

我们知道$A$串有$K^N$种，所以，我们只需要考虑对于所有的$A$串，有多少个$B$串可以和它构成合法的字符串对...如果我们不考虑重复的情况，有$N$种划分$A$串的方法...

但是有重复的情况，考虑如何去重...

我们假设$G$的长度为$p$和$q(p<q)$的时候$B$相等...那么有有以下的性质：

$B:  A[p]A[p+1]A[p+2]......A[n-1]A[0]A[1]...A[p-1]$

$B:  A[q]A[q+1]A[q+2]....A[n-1]A[0]A[1].....A[q-1]$

我们定义$L$代表$q-p$

那么对于任意的$A[i]$，都有$A[i]=A[(i+L)%n]$，诶，这就是循环节啊...也就是说，当$A$的最小循环节长度为$x$的时候，$A$串对应的$B$串有$x$个...

所以，我们记$f[p]$代表长度为$p$的并且最小循环节就是它本身的字符串的合法方案...那么$ans=\sum _{p\mid n} p*f[p]$，至于$f[p]$的求法就是容斥啦...用总的方案数减去所有不和发的方案数，也就是枚举循环节长度并减去...因为一个数的因子一定是它的倍数的因子，所以我们需要求出的$f$的个数只有$n$的因子个数个...

代码：

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
const int N=50000+5,M=1e9+7;
int n,m,k,a,c,f[N],d[N];
inline int p(int x,int y){
	int r=1;
	while(y){
		if(y&1)r=1LL*r*x%M;
		x=1LL*x*x%M,y>>=1;
	}return r;
}
signed main(void){
	scanf("%d%d",&n,&k);f[1]=k;m=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=m;i++)if(n%i==0){d[++c]=i;if(i*i!=n)d[++c]=n/i;}
	std::sort(d+1,d+c+1);
	for(int i=2;i<=c;i++){
		f[i]=p(k,d[i]);
		for(int j=1;j<i;j++)if(d[i]%d[j]==0)f[i]=(f[i]-f[j]+M)%M;
	}
	for(int i=1;i<=c;i++)a=(a+1LL*d[i]*f[i]%M)%M;printf("%d\n",a);
}

　　

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By NeighThorn