P9120 题解
暴力容斥复活之路！
\(k=1\)
这个你肯定会。
\(k=2\)
大的放上去，小的放下来。简单贪心。
\(k=3\)
考虑二分答案。
然后考虑判断是否合法。
令当前答案为 \(val\)。
首先钦定最小值在第一行。
然后枚举最大值在哪一行。
现在我们就确定了两行可以填的数的范围。
剩下一行的选择就出来了。
现在问题是怎么判断剩下一行是否合法。
考虑把是否有一个长度为答案的区间覆盖所有点的问题转变为把每个点 \(x\) 对区间 \([x,x+val]\) 做贡献。
然后看有没有点被贡献了 \(n\) 遍。
但是同一个选择的点会重复贡献。
所以我们直接暴力容斥去除重复贡献。
这里由于值域很小，直接用差分维护。
\(k=4\)
和 \(k=3\) 的做法差不多。
一样的做法，把每个点对一个正方形，然后暴力容斥。
但是问题变成了二维数点。所以离线用线段树维护。
但是被贡献 \(n\) 次的点有 \(V^2\) 种情况，怎么办？
发现被贡献 \(n\) 次的点一定是被贡献最多的点，所以在线段树上维护前缀和极值就可以了。
卡常
上面的做法复杂度是 \(O(k^2 \times 2^k \times n \times \log^{k-2} (n \times 2^k))\)。
那么开始卡常：
大量使用位运算。
记录最大访问到的位置，减少对没有访问的数组的清空。
因为线段树只用维护单点修改，所以使用非递归线段树。
上面是核心的卡常思路，剩下一些小优化就看代码吧（15KB 慎入）。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
using namespace std;
namespace IO{
const int SIZE=1<<21;
static char ibuf[SIZE],obuf[SIZE],*iS,*iT,*oS=obuf,*oT=oS+SIZE-1;
int qr;
char qu[55],c;
bool f;
#define getchar() (IO::iS==IO::iT?(IO::iT=(IO::iS=IO::ibuf)+fread(IO::ibuf,1,IO::SIZE,stdin),(IO::iS==IO::iT?EOF:*IO::iS++)):*IO::iS++)
#define putchar(x) *IO::oS++=x,IO::oS==IO::oT?flush():0
#define flush() fwrite(IO::obuf,1,IO::oS-IO::obuf,stdout),IO::oS=IO::obuf
#define puts(x) IO::Puts(x)
template<typename T>
inline void read(T&x){
for(f=1,c=getchar();c<48||c>57;c=getchar())f^=c=='-';
for(x=0;c<=57&&c>=48;c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);
x=f?x:-x;
}
template<typename T>
inline void write(T x){
if(!x) putchar(48); if(x<0) putchar('-'),x=-x;
while(x) qu[++qr]=x%10^48,x/=10;
while(qr) putchar(qu[qr--]);
}
inline void Puts(const char*s){
for(int i=0;s[i];++i)
putchar(s[i]);
putchar('\n');
}
struct Flusher_{~Flusher_(){flush();}}io_flusher_;
}
using IO::read;
using IO::write;
const int maxk = 5,maxn = 5e4+14,maxv=3e4+10;
int a[maxn][maxk];
int k;
int ans(int j,int n){
int mx=0,mi=65535;
for(int i=1;i<=n;++i) mx=max(mx,a[i][j]),mi=min(mi,a[i][j]);
return mx-mi;
}
vector<int> ch[maxn];//剩下一行可能的选择
int sum[maxv];//差分数组
int n;
int lwx;
inline void add(int l,int r,int val){//差分数组上修改
r=min(r,maxv-7);
sum[l]+=val;
sum[r+1]-=val;
lwx=max(lwx,r+1);
}
inline void maintain(){//统计差分数组
for(register int i=1;i<=lwx;i=-~i) sum[i]+=sum[i-1];
}
bool check(int pos,int mx,int mi,int val){//最大值放在第 1 行，最小值放在第 pos 行 k=3 极值为 val 是否合法
for(register int i=0;i<=lwx;i=-~i) sum[i]=0;
lwx=0;
for(register int i=1;i<=n;i=-~i) ch[i].clear();
int r1=mx,l1=r1-val;
int l2=mi,r2=l2+val;
for(register int i=1;i<=n;i=-~i){
if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法
ch[i].push_back(a[i][((pos-2)^1)+2]);
}
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
//转锁调整数组
if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法
ch[i].push_back(a[i][((pos-2)^1)+2]);
}
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法
ch[i].push_back(a[i][((pos-2)^1)+2]);
}
if(ch[i].size()==0) return false;
if(ch[i].size()==1){
add(ch[i][0],ch[i][0]+val,1);
}
else if(ch[i].size()==2){
add(ch[i][0],ch[i][0]+val,1);
add(ch[i][1],ch[i][1]+val,1);
int l=max(ch[i][0],ch[i][1]),r=min(ch[i][0]+val,ch[i][1]+val);
if(l<=r)
add(l,r,-1);
//容斥处理
}
else {
int l=min(ch[i][0],min(ch[i][1],ch[i][2])),r=mx;
add(l,r,1);
}
}
maintain();
for(register int i=1;i<=n;i=-~i){
if(ch[i].size()==0) continue;
for(register int u:ch[i])
if(sum[u]==n)//被所有区间包含，也就是区间 [u-val,u] 包含所有点
return true;
}
return false;
}
vector<int> wyb;
int tree[65536+10][2];//sum ans 和：最大前缀和
vector< pair<int,int> > opt[maxn]; //pos:val
int top;
inline void add_p(pair<int,int> A,pair<int,int> B,int val){
B.first=min(B.first,top);
B.second=min(B.second,top);
opt[B.first].push_back(make_pair(B.second,val));
opt[A.first-1].push_back(make_pair(B.second,-val));
opt[B.first].push_back(make_pair(A.second-1,-val));
opt[A.first-1].push_back(make_pair(A.second-1,val));
wyb.push_back(B.first);
wyb.push_back(A.first-1);
//二维差分
}
//值域平移 1
vector< pair<int,int> > chifan[maxn];
bool Check(int pos,int mx,int mi,int val){//最大值放在第 1 行，最小值放在第 pos 行 k=4 极值为 val 是否合法
for(int u:wyb) opt[u].clear();
wyb.clear();
top=mx+2;
memset(tree,0,sizeof(tree));
for(register int i=1;i<=n;i=-~i) chifan[i].clear();
int r1=mx,l1=r1-val;
int l2=mi,r2=l2+val;
int last;
for(register int i=1;i<=n;i=-~i){
if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法
if(pos==2){
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][3],a[i][4]));
}
else if(pos==3){
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][4]));
}
else{
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][3]));
}
}
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];
a[i][4]=a[i][1]^a[i][4];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];
if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法
if(pos==2){
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][3],a[i][4]));
}
else if(pos==3){
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][4]));
}
else{
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][3]));
}
}
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];
a[i][4]=a[i][1]^a[i][4];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];
if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法
if(pos==2){
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][3],a[i][4]));
}
else if(pos==3){
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][4]));
}
else{
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][3]));
}
}
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][2]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][2];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][3]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][3];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];
a[i][4]=a[i][1]^a[i][4];
a[i][1]=a[i][1]^a[i][4];
if(l1<=a[i][1]&&a[i][1]<=r1&&l2<=a[i][pos]&&a[i][pos]<=r2){//确定区间的行填的数合法合法
if(pos==2){
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][3],a[i][4]));
}
else if(pos==3){
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][4]));
}
else{
chifan[i].push_back(make_pair(a[i][2],a[i][3]));
}
}
//下面开始容斥处理贡献
if(chifan[i].size()==0) return false;
if(chifan[i].size()==1){
add_p(chifan[i][0],make_pair(chifan[i][0].first+val,chifan[i][0].second+val),1);
}
else if(chifan[i].size()==2){
add_p(chifan[i][0],make_pair(chifan[i][0].first+val,chifan[i][0].second+val),1);
add_p(chifan[i][1],make_pair(chifan[i][1].first+val,chifan[i][1].second+val),1);
pair<int,int> l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][1].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][1].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][1].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][1].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
//容斥处理
}
else if(chifan[i].size()==3){
add_p(chifan[i][0],make_pair(chifan[i][0].first+val,chifan[i][0].second+val),1);
add_p(chifan[i][1],make_pair(chifan[i][1].first+val,chifan[i][1].second+val),1);
add_p(chifan[i][2],make_pair(chifan[i][2].first+val,chifan[i][2].second+val),1);
pair<int,int> l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][1].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][1].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][1].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][1].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][2].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][2].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][2].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][2].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
l=make_pair(max(chifan[i][1].first,chifan[i][2].first),max(chifan[i][1].second,chifan[i][2].second)),r=make_pair(min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][2].first+val),min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][2].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][1].first,chifan[i][2].first)),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][1].second,chifan[i][2].second))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][2].first+val)),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][2].second+val)));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,1);
}
else{
add_p(chifan[i][0],make_pair(chifan[i][0].first+val,chifan[i][0].second+val),1);
add_p(chifan[i][1],make_pair(chifan[i][1].first+val,chifan[i][1].second+val),1);
add_p(chifan[i][2],make_pair(chifan[i][2].first+val,chifan[i][2].second+val),1);
add_p(chifan[i][3],make_pair(chifan[i][3].first+val,chifan[i][3].second+val),1);
pair<int,int> l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][1].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][1].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][1].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][1].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][2].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][2].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][2].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][2].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
l=make_pair(max(chifan[i][1].first,chifan[i][2].first),max(chifan[i][1].second,chifan[i][2].second)),r=make_pair(min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][2].first+val),min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][2].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
l=make_pair(max(chifan[i][0].first,chifan[i][3].first),max(chifan[i][0].second,chifan[i][3].second)),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,chifan[i][3].first+val),min(chifan[i][0].second+val,chifan[i][3].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
l=make_pair(max(chifan[i][1].first,chifan[i][3].first),max(chifan[i][1].second,chifan[i][3].second)),r=make_pair(min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][3].first+val),min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][3].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
l=make_pair(max(chifan[i][2].first,chifan[i][3].first),max(chifan[i][2].second,chifan[i][3].second)),r=make_pair(min(chifan[i][2].first+val,chifan[i][3].first+val),min(chifan[i][2].second+val,chifan[i][3].second+val));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][1].first,chifan[i][2].first)),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][1].second,chifan[i][2].second))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][2].first+val)),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][2].second+val)));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,1);
l=make_pair(max(chifan[i][1].first,max(chifan[i][2].first,chifan[i][3].first)),max(chifan[i][1].second,max(chifan[i][2].second,chifan[i][3].second))),r=make_pair(min(chifan[i][1].first+val,min(chifan[i][2].first+val,chifan[i][3].first+val)),min(chifan[i][1].second+val,min(chifan[i][2].second+val,chifan[i][3].second+val)));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,1);
l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][2].first,chifan[i][3].first)),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][2].second,chifan[i][3].second))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][2].first+val,chifan[i][3].first+val)),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][2].second+val,chifan[i][3].second+val)));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,1);
l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][1].first,chifan[i][3].first)),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][1].second,chifan[i][3].second))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][1].first+val,chifan[i][3].first+val)),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][1].second+val,chifan[i][3].second+val)));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,1);
l=make_pair(max(chifan[i][0].first,max(chifan[i][1].first,max(chifan[i][2].first,chifan[i][3].first))),max(chifan[i][0].second,max(chifan[i][1].second,max(chifan[i][2].second,chifan[i][3].second)))),r=make_pair(min(chifan[i][0].first+val,min(chifan[i][1].first+val,min(chifan[i][2].first+val,chifan[i][3].first+val))),min(chifan[i][0].second+val,min(chifan[i][1].second+val,min(chifan[i][2].second+val,chifan[i][3].second+val))));
if(l.first<=r.first&&l.second<=r.second)
add_p(l,r,-1);
}
}
for(register int i=top;i>=0;i=-(-~(-~(~(i))))){
if(opt[i].size()==0) continue;
for(pair<int,int> u:opt[i]){
int x=u.first+32768;
tree[x][0]+=u.second;
tree[x][1]+=u.second;
x>>=1;
while(x!=0){
tree[x][0]=tree[x<<1][0]+tree[x<<1|1][0];
tree[x][1]=min(tree[x<<1][1],tree[x<<1][0]+tree[x<<1|1][1]);
x>>=1;
}
}
if(tree[1][0]-tree[1][1]>=n) return true;
}
return false;
}
void work(){
read(n);
int mx=0,mi=maxv;
for(register int i=1;i<=k;++i){
for(register int j=1;j<=n;++j){
read(a[j][i]);
mx=max(mx,a[j][i]);
mi=min(mi,a[j][i]);
}
}
if(k==1){
write(ans(1,n));
putchar('\n');
}
else if(k==2){
for(register int i=1;i<=n;++i){
if(a[i][1]<a[i][2]) swap(a[i][1],a[i][2]);
}
write(max(ans(1,n),ans(2,n)));
putchar('\n');
}
else if(k==3){
int l=-1,r=(mx-mi);
while(l+1<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(check(2,mx,mi,mid)==true||check(3,mx,mi,mid)==true){
r=mid;
}
else{
l=mid;
}
}
write(r);
putchar('\n');
}
else{
int l=-1,r=(mx-mi);
while(l+1<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(Check(4,mx,mi,mid)==true||Check(3,mx,mi,mid)==true||Check(2,mx,mi,mid)==true){
r=mid;
}
else{
l=mid;
}
}
write(r);
putchar('\n');
}
return ;
}
signed main(){
int t;
read(t);
read(k);
while(t--) work();
}
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