可持久化Trie树初步

可持久化Trie树和可持久化线段树很像，依次插入信息，通过减法来进行历史版本查询。

2015年11月27日

　　bzoj3261 最大异或和

　　　　我们需要计算 a[p] xor a[p+1] xor ... xor a[N] xor x ，设 sum[i] 表示 a[1] xor a[2] xor ... xor a[i] 的值，因为异或满足区间减法，所以求上一个式子等于求 sum[n] xor sum[p - 1] xor x，进一步，sum[n] xor x 为定值，所以需要找到二进制位上尽量不匹配的，由此需要使用Trie树。

　　　　同时题目中有区间限制，所以我们需要一个可持久化的数据结构。

　　　　1) 顺次将sum[i]插入到可持久化Trie树中。注意 : 我们需要让数位对齐，否则高位低位会错位，所以需要在每一个数的前面加上适当的0以使他们数位相等。

　　　　插入时，可以采取递归的方式，用 >> 来确定这一位是多少，把没有改变的那一边链向历史版本。注意 : 在递归时，若采取d--(此处见代码)的方式，因为一个节点的左右儿子不是在同一个递归中构造完成，所以判断 d < 0  ---> break; 需要放在新建节点之后。

　　　　2) 对于查询时，从根节点开始，同样采用d--的方式，逐位确定，如果 x 的这一位为 p ，那么我们查询Sum[son[l][p ^ 1]] - Sum[son[r][p ^ 1]，Sum为节点上有多少的值，如若 表达式 > 0 那么我们就像 p ^ 1 的方向行走，同时 答案加上 1 << d 因为这一位被我们错开了，否则只好向 p 的方向行走， 不加上 1 << d。

　　　　3) 因为我们要计算的是 sum[p - 1] xor sum[n] xor[x] 的值，所以对于给定的p的限制区间，我们必须把区间减一，再把左端点减一后查询，这里有一个小技巧 : 首先插入一个 0 的值到可持久化Trie树中，以作为第一个节点，对于后面的读入 比如说(l, r) 直接查询 (l - 1, r) 即可，因为已经事先减一了。

　　　　4) 对于空间的问题，因为一条链最多有 floor(log(1e7)) + 1 的长度，又因为 n <= 300000, m <= 300000，有可能所有的option均为A，所以 (Maxn + Maxm) * (floor(log(1e7)) + 1)

 #include <bits/stdc++.h>
 #define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
 #define REP(i, a, b) for (int i = a; i < b; i++)
 #define drep(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
 #define pb push_back
 #define mp make_pair
 #define xx first
 #define yy second
 using namespace std;
 typedef long long i64;
 typedef pair<int, int> pii;
 const int inf = ~0U >> ;
 const i64 INF = ~0ULL >> ;
 //*****************************
 const int maxn = , maxm = ;

 int Sum[maxm], Son[maxm][], root[maxm], ndtot;

 void build(int x, int &y, int v, int d) {
     Sum[y = ++ndtot] = Sum[x] + ;
     if (d < ) return;
     int p = v >> d & ;
     Son[y][p ^ ] = Son[x][p ^ ];
     build(Son[x][p], Son[y][p], v, d - );
 }

 int tot;

 int query(int x, int y, int v, int d) {
     if (d < ) return ;
     int p = v >> d & ; int tmp = Sum[Son[y][p ^ ]] - Sum[Son[x][p ^ ]];
     if (tmp > ) return ( << d) + query(Son[x][p ^ ], Son[y][p ^ ], v, d - );
     else return query(Son[x][p], Son[y][p], v, d - );
 }

 int main() {
     int n, m;
     scanf("%d%d", &n, &m);
     build(root[], root[], , ), n++;
     rep(i, , n) {
         int id;
         scanf("%d", &id);
         tot ^= id;
         build(root[i - ], root[i], tot, );
     }
     char op[];
     while (m--) {
         scanf("%s", op);
         if (op[] == 'A') {
             int id;
             scanf("%d", &id);
             tot ^= id;
             build(root[n], root[n + ], tot, );
             n++;
         }
         else {
             int x, y, k;
             scanf("%d%d%d", &x, &y, &k);
             printf("%d\n", query(root[x - ], root[y], tot ^ k, ));
         }
     }
 }