首先我按着我的理解说一下它为什么是卡特兰数,首先卡特兰数有一个很典型的应用就是求1~N个自然数出栈情况的种类数。而这里正好就对应了这种情况。我们要满足题目中给的条件,数字应该是从小到大放置的,1肯定在左上角,所以1入栈,这时候我们放2,如果我们把2放在了1的下面就代表了1出栈,把2放在上面就代表了2也进栈(可以看一下hint中第二组样例提示),以此类推,这样去放数,正好就对应了上面一行入栈,下面一行出栈的情况,一共n行,对应上限为n的卡特兰数。

  需要注意的地方就是在使用卡特兰数递推式的时候,除法是不遵循同余膜定理的,所以需要用到乘法逆元,设我们要除的数为n,取的膜为mod,那么n的乘法逆元就是,当n与mod互质的时候,通过欧几里得定理n*x + y*mod = gcd(n,m)得到x,将x处理为(x%mod + mod)% mod的形式,就是我们要的乘法逆元。

  代码如下:

  

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 1000010
#define mod 1000000007
#define LL long long
LL ktl[maxn],x,y;
LL exgcd(LL a,LL b)
{
if(b == )
{
x = ;
y = ;
return a;
}
LL gcd = exgcd(b,a%b);
LL tmp;
tmp = x;
x = y;
y = tmp - a/b * y;
return gcd;
}
LL yiyuan(int n)
{
LL gcd = exgcd(n,mod);
if(gcd == )
return (x%mod + mod) % mod;
}
void init()
{
memset(ktl,,sizeof(ktl));
ktl[] = ;
for(int i = ; i <= maxn-; i++)
{
ktl[i] = (ktl[i-]*(*i-)%mod * yiyuan(i+)) % mod;
}
}
int main()
{
int t,n,ca = ;
init();
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
printf("Case #%d:\n",++ca);
printf("%I64d\n",ktl[n]);
}
return ;
}

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