数据结构 - 堆(Heap）

数据结构 - 堆(Heap)

1.堆的定义

堆的形式满足完全二叉树的定义：

• 若 i < ceil(n/2) ，则节点i为分支节点，否则为叶子节点
• 叶子节点只可能在最大的两层出现，而最大层次上的叶子节点都依次排列在该层最左侧的位置上
• 如果有度为1的节点，那么只可能有一个，且该节点只有左孩子

根据堆定义的不同，分为大根堆和小根堆：

• 大根堆每个节点的值都大于其子节点的值
• 小根堆每个节点的值都小于其子节点的值

除此之外还有一个重要的内容

• 单节点也符合堆的特质

2.堆的初始化

堆的初始化可以可以分为如下几个步骤（以初始化最大根堆为例）：

1. 首先初始化为完全二叉树形式。

2. 从最后一个具有孩子节点的节点进行调整，如果以该元素为根的子树是最大根堆，则不进行操作，否则将该子树调整为最大根堆（调整思路为不断与子节点进行比较和交换，直至满足最大根堆要求为止）。

3. 数组:[2,7,26,25,19,17,90,3]，初始化为完全二叉树形式。

1. 调整最后一个具有孩子节点的节点[4]，符合最大根堆要求，不进行操作。

1. 调整节点[3]，以满足最大根堆要求，交换[3]和[7]。

1. 调整节点[2]，以满足最大根堆要求，交换[2]和[5]。

1. 调整节点[1]，以满足最大根堆要求，交换[1]和[3]后继续交换[3]和[7]，最终完成初始化，满足最大根堆要求。

3.堆节点的插入和调整

如上图所示，在如上所示图中插入44

1. 堆的初始化和插入的C++语言代码描述

/**
*@Author : Kindear
*@Intro  : DataStrcut C++ Code 以最大根堆为例
**/
#include <bits/stdc++.h>
#define ARR_SIZE 20
using namespace std;
typedef int ElementType;
void AdjustUp(ElementType A[],int k, int len) //该方法用于堆插入调整
{
    int Tmp = A[k]; //暂存k位置的数值
    int i = k/2; //父节点的下标
    while(i > 0 && A[i] < Tmp)
    {
        //如果该节点大于父节点，那么就交换两者的位置，满足最大根堆的要求
        A[k] = A[i];
        k = i;
        i = k/2; //继续向上寻找并调整，直至满足最大根堆要求
    }
    A[k] = Tmp; //
}
void AdjustDown(ElementType A[],int k,int len) //该方法用于堆的初始化
{
    int Tmp = A[k];
    for(int i = 2*k; i <= len; i*=2) //向下筛选
    {
        if(i < len && A[i] < A[i+1]) i++;
        if(Tmp > A[i]) break;
        else
        {
            A[k] = A[i];
            k = i;
        }
    }
    A[k] = Tmp;
}
void BuildMaxHeap(ElementType A[],int len)
{
    for(int i= len/2 ; i > 0; i--)
    {
        AdjustDown(A,i,len);
    }
}
void PrintfElementArray(ElementType A[],int len)
{
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {
        printf("%d%c",A[i],i==len?'\n':' ');
    }
}
int main()
{
    ElementType A[] = {0,2,7,26,25,19,17,90,3};
    ElementType B[ARR_SIZE];
    BuildMaxHeap(A,8);
    PrintfElementArray(A,8);
    for(int i=0;i<=8;i++)
    {
        B[i] = A[i];
    }
    B[9] = 44;//插入44
    AdjustUp(B,9,9);
    PrintfElementArray(B,9);
}

参考文档

[1] 数据结构堆可视化:https://visualgo.net/zh/heap