求X值问题

这，其实是一道数学题，难就难在要把数学模型用编程语言实现，其中的规律如果看不出来就比较鸡肋，这类题可以算是智商题，做这类题千万不能紧张，血的教训。

题目描述

已知有整数x，x + 100为一个平方数、x + 168也是一个平方数、请写出计算程序求出x的所有可能？

题目出处： 浙江某研究院笔试题

题解

正如开头引言所说的，这，其实是道数学题。所以，我们先从数学的角度去分析这个问题。

假设这是道选择题

不要硬算、你直接把选项套进去嘛，运气差一点也不过四次脑力循环。

假设这是道应用题

由题意得：
x + 100 = a ^ 2; (1)
x + 168 = b ^ 2; (2)
(2) - (1) 得
b ^ 2 - a ^ 2 = 68;即 (b + a)(b - a) = 68;
因式分解，分类讨论
68 = 1 * 68 （3）
68 = 2 * 34 （4）
68 = 4 * 17  (5)
玄学来了， 凑。。。
眼睛一瞄，只有(4)是同偶数，就先拿它试试
(b + a) = 34; (6)
(b - a) = 2; (7)
(7) + (6) 得 2b = 36,即 b = 18;
因此 x = 18 ^ 2 - 168 = 156;
(3)(5)不符合整数定义。

建模

分类讨论

(b + a) (b - a) = num.

• 当a和b为奇数，num为奇数
• 当a和b为偶数，num为偶数
• 当a和b一奇一偶，num为奇数

x的递推公式（前提a > b）

sqrt_a = Math.sqrt(x + a);（1）
sqrt_b = Math.sqrt(x + b); (2)
(sqrt_a + sqrt_b)(sqrt_a - sqrt_b) = a - b;（3）
令sqrt_a + sqrt_b = cur;(4) 那么 sqrt_a - sqrt_b = (a - b) / cur;(5)
(4) + (5) 得：
2 * sqrt_a = (cur + (a - b) / cur);(6)
将（1）代入（6）得：
x = ((cur + (a - b) / cur) / 2) ** 2 - a;

看到这里我们就很高兴了，这个程序算是解决了一般，第一个是将被除数num分奇偶分类讨论，第二个是推导出了所求值x递推公式，在写程序的时候，我们只要保证分类讨论中a和b的情况就好了。

实现代码

// 求X， 已知 x + 100 为一个平方数、x + 168也是一个平方数，请写出计算程序？

function getX(a, b) {
  const res = [];
  // a比b小就交换位置他俩
  if (a < b) {
    [a, b] = [b, a];
  }
  let dividend = a - b;
  let cur = dividend;
  if (dividend % 2 === 0) {
    // 循环被除数一半就好了
    while (cur >= Math.sqrt(dividend)) {
      if(cur % 2 === 0 && ((dividend / cur) % 2 === 0)) {
        res.push(((cur + dividend / cur) / 2) ** 2 - a);
      }
      // 无视奇数，直接到下个偶数
      cur = cur - 2;
    }
  } else {
    while (cur >= Math.sqrt(dividend)) {
      if(cur % 2 !== 0 && (dividend / cur) % 2 !== 0) {
        res.push(cur / 2 + dividend / (2 * cur) - a);
      }
      cur--;
    }
  }
  return res;
}

const res = getX(168, 100);
console.log(res); // [ 156 ]

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