【BZOJ】2440: [中山市选2011]完全平方数
【题意】T次询问第k小的非完全平方数倍数的数。T<=50,k<=10^9。(即无平方因子数——素因数指数皆为0或1的数)
【算法】数论(莫比乌斯函数)
【题解】考虑二分,转化为询问[1,x]中无平方因子数的个数(x最大为2n)。
运用容斥,答案ans=x - 1个素数的平方的倍数的数的个数 + 2个素数的乘积的平方的倍数的数的个数……
枚举i=[1,√x]的所有数字,系数是莫比乌斯函数,i的平方的倍数的数的个数就是n/(i^2)。
ans=x-Σμ(i)*n/(i^2),i∈[1,√x]
复杂度O(T*√n)。
注意:二分上届为2n,l+r会爆int。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
int T,tot,n,miu[maxn],prime[maxn];
bool mark[maxn];
int main(){
scanf("%d",&T);
miu[]=;
for(int i=;i<=;i++){
if(!mark[i]){prime[++tot]=i;miu[i]=-;}
for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=;j++){
mark[i*prime[j]]=;
if(i%prime[j]==)break;
miu[i*prime[j]]=-miu[i];
}
}
while(T--){
scanf("%d",&n);
long long l=,r=*n,mid,ans;//
while(l<r){
mid=(l+r)>>;ans=;int sq=(int)sqrt(mid);
for(int i=;i<=sq;i++){
ans+=miu[i]*mid/i/i;
}
if(ans>=n)r=mid;else l=mid+;
}
printf("%lld\n",l);
}
return ;
}
定义集合x(素数)表示不是x^2的倍数的数字集合。
则要求集合并,容易知道集合交的补集。
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