ACM-Antiprime数

 

问题描述: swust打不开，随便找了个博客。。。。

对于任何正整数x,起约数的个数记做g(x).例如g(1)=1,g(6)=4.

定义：如果某个正整数x满足:对于任意i(0<i<x),都有g(i)<g(x),则称x为反素数.

现在给一个N,求出不超过N的最大的反素数.

比如:输入1000 输出 840

思维过程:

求[1..N]中最大的反素数-->求约数最多的数（约数同样多取数值小的）

简单证明：

如果X是答案，但X不是约数最多的数，假设约数最多的数是Y，那么Y>X，否则不符合反质数的定义。

那么很明显Y也是一个反质数，且Y比X大，那么答案应该是Y而不是X。

如果求约数的个数 756=2^2*3^3*7^1

(2+1)*(3+1)*(1+1)=24

基于上述结论,给出算法:按照质因数大小递增顺序搜索每一个质因子,枚举每一个质因子

为了剪枝:

性质一:一个反素数的质因子必然是从2开始连续的质数.

因为最多只需要10个素数构造:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

性质二:p=2^t1*3^t2*5^t3*7^t4.....必然t1>=t2>=t3>=....

 //// Antiprime数.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
 ////
 //
 #include "stdafx.h"

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int prime[] = { , , , , , , , , , ,  };
 //相应的限制次数{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11};
 //2*3*5*7*11*13*17*19*21*23>n，所以只需考虑到23即可
 ll n, BestSum, BestNum;

 //num表示当前数字大小、sum表示当前数字的约数个数、limit表示第k个素数的上限，k表示第k个素数
 void solve(ll num, ll sum, ll limit, ll k)
 {
     //cout << "=======================:      pos:" << k << "\tdiv:" << sum << "\tnum:" << num << "\tlimit:" << limit << endl;
     if (sum>BestSum){
         BestSum = sum;
         BestNum = num;
     }
     else if (sum == BestSum&&num<BestNum){//约数个数一样时，取小数
         BestNum = num;
     }
     for (int i = ; i <= limit; i++){//素数k取i个
         cout << "=====================================================================" << endl;
         cout << "now num:" << num << "\tk:" << k << "\ti:" << i << "\tlimit:" << limit << endl;
         cout << num << "*prime[" << k << "]=" << "="<<num <<"*"<<prime[k]<< "=" << num * prime[k] << endl;
         cout << "sum:" << sum << "\ti:" << i << "\tsum*(1+" << i << ")=" << sum*( + i) << endl;
         cout << "=====================================================================" << endl<<endl;
         num *= prime[k];
         if (num>n) return;
             solve(num, sum*( + i), i, k + );
     }
 }
 int main(){
     cin >> n;
     solve(, , , );//每个数最多被分解成10质数的乘积
     cout << BestNum;
     return ;
 }

下面是当n=20时，问题解的遍历图形。