Educational Codeforces Round 68

E

题意:有 n 个线段,每个都是平行 x 或者 y 轴,只有互相垂直的两线段才会相交。问形成了多少个矩形。 \(n \le 5000, -5000 \le x_i,y_i \le 5000\)

key:树状数组

考虑枚举矩形上边和下边,如果统计出与这两条边相交的竖线个数,那么就能知道贡献。先枚举下边,把所有与它相交的竖线插入树状数组。如果把竖线按照上端点的纵坐标排序,那么按照从下往上枚举上边时就可以删掉某些竖边。总复杂度 \(O(n^2 \log n)\)

F

题意:有 n 个题,第 i 个题花费时间是 \(a_i\) 或 \(a_i+1\),概率都是 0.5,你只能顺着做。问 T 时间做题的期望个数。 \(a_i \le 10^9, T \le 10^{14}, n \le 2*10^5\)

key:概率

key:姿势

总方案数是 \(2^n\), 考虑第 i 个题被做的方案数。令 \(sum_i=\sum_{j\le i}a_i\) ,那么剩余可随意支配的时间是 \(T-sum_i\),这些时间会被分配到前 i 个题上,每个至多分配 1,或者留给后面的题。后面的题不用管,就是 \(2^{n-i}\) 种方案。所以这个题的贡献是
\[
\frac{2^{n-i}*\sum_{j=0}^{T-sum_i} {i \choose j}}{2^n}
\]
分子是一个组合数第 i 行的前缀和,这个可以直接递推(\(\sum_{i\le m} {n+1 \choose i} = 2\sum_{i\le m} {n \choose i} - {n \choose m}\))。由于随着 i 增大, \(T-sum_i\) 变小,所以可以直接做。

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