HDU 5729 Rigid Frameworks (联通块计数问题)

题目传送门

通过看题解画图可以发现：

不论怎么转，一列里的横边/一行里的竖边始终平行

当我们加固一个格子时，会让它所在的这一行的竖边和这一列的横边保证垂直

而我们的目标是求所有竖边和横边都保证垂直的方案数

把一行里的所有竖边看成一个点，把一列里的所有横边看成一个点。一共$n+m$个点

把图看成二分图，左侧$n$个点，右侧$m$个点。加固一个格子相当于在左侧的一个点和右侧的一个点之间连边！

我们的问题变成了求解二分图的连通图个数！

接下来就是很套路的$DP$了

定义$f(a,b)$表示左边$a$个点，右边$b$个点的连通二分图个数

对于连通图问题，我们依然采用常规的“固定思想”，我们固定左侧第一个点

直接求联通很困难，考虑用不合法的情况相减，可得$DP$方程：

$f(a,b)=3^{ab}-\sum_{i=0}^{a}\sum_{j=0}^{b}f(i,j)C_{a-1}^{i-1}C_{b}^{j}3^{(a-i)(b-j)}$

(注意i=a,j=b是不能转移的)

初值怎么赋需要思考

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define N1 65
 #define M1 3605
 #define ll long long
 using namespace std;
 const ll p=;

 int n,m,T;
 int pw3[M1],C[N1][N1],f[N1][N1];

 int main()
 {
     int i,j,a,b; n=; m=;
     for(i=,pw3[]=;i<=n*m;i++) pw3[i]=3ll*pw3[i-]%p;
     C[][]=;
     for(i=;i<=max(n,m);i++)
     {
         C[i][]=C[i][i]=;
         for(j=;j<i;j++)
             C[i][j]=(C[i-][j]+C[i-][j-])%p;
     }
     f[][]=; f[][]=; //pw3[0]=0;
     for(a=,b=;b<=m;b++)
     {
         f[a][b]=pw3[a*b];
         for(j=,i=;j<b;j++)
         {
             f[a][b]=(f[a][b]-1ll*f[i][j]*C[a-][i-]%p*C[b][j]%p*pw3[(a-i)*(b-j)]%p+p)%p;
         }
     }
     for(a=;a<=n;a++)
     {
         for(b=;b<=m;b++)
         {
             f[a][b]=pw3[a*b];
             for(i=;i<a;i++)
             for(j=;j<=b;j++)
                 f[a][b]=(f[a][b]-1ll*f[i][j]*C[a-][i-]%p*C[b][j]%p*pw3[(a-i)*(b-j)]%p+p)%p;
             for(j=,i=a;j<b;j++)
                 f[a][b]=(f[a][b]-1ll*f[i][j]*C[a-][i-]%p*C[b][j]%p*pw3[(a-i)*(b-j)]%p+p)%p;
         }
     }
     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
     {
         printf("%d\n",f[n][m]);
     }
     return ;
 }