SICP 习题1.16-1.19体会

首先反思一下， 昨天做1.14的时候犯了一个严重错误。思维定式了，导致花了非常多无用功。

1.14的关键是要想到2个物理意义。 一个是广度优先， 也就是仅仅考虑问题递归树的第一层子数。那么必定有公式

F(n,m) = F(n- c1, m) + ... + F(n-cm, m) + 1   c1..cm为货币价值, m为货币树。

利用这个公式，我们非常easy用数学归纳法证明存在一个參数C1，满足F(n,m) > C1 * n的m次方。

可是，利用这个公式，我们是无法证明存在一个參数C2。满足F(n。m) < C2 * n的m次方。

根本原因是犯了数学竞赛中不等式证明的常规错误。 如果条件太宽了。

这样，就必须考虑第二个物理意义。  有第一种货币，和没第一种货币 2种集合。

基于如果，我们能够设定第一种货币的价值为1。且为最小货币。

这样就得到了一个不同于上面广度优先的深度遍历公式。

F(n，m) = n + F(n , m -1) +F(n -1, m-1) + ...+ F(0, m- 1) 分别相应第一种货币选择 0次，1次，..., n次

由这个公式，我们是非常easy证明上界的。 但要用这个公式证明下界， 则非常难。

1.16-1.19主要是讲怎样对数次求一个数的幂次方。

坦率的说。 书本的解说不是那么让人easy理解。

假设我们考虑二进制， 则问题就非常easy了。

如果b为5。 则2进制为 101, a的5次方则为   (1) * a 的四次方 * (什么也不做)  *  a

那么， 问题就非常明确了， 无论是迭代还是递归，干的都是一个事情， 从低位開始求b的二进制， 假设为1， 则做乘法。0就无视。

每次将base平方。

这4道题。 用后面的高阶函数来看的话，本质都是一样的。他们仅仅有算子的区别。

即F函数的n次方， 等价于将n转化为2进制， 依次求f函数的平方运算。

关于Fib数列。 书本的题目过于数学化， 我们换一个形式， 用数学工具矩阵来描写叙述就非常明确了。

列矩阵[Fn+1 Fn]  = 矩阵A * 列矩阵Fn  Fn-1]

矩阵A为  2 * 2的矩阵 [1 1

1 0]

求Fib数列就转化为求A矩阵的n次方了。

个人參考解答例如以下：

1.16

(define (expt b n)

    (define (even? n)

(= (remainder n 2) 0))

    (define (square x) (* x x))

    (define (improve x)

(if (even? x)

   (/ x 2)

   (/ (- x 1) 2)))

    (define (fast-expt-iter b counter product)

(if (= counter 0)

   product

   (if (even?

counter)

(fast-expt-iter (square b) (improve counter) product)

(fast-expt-iter (square b) (improve counter) (* product b)))))

    (fast-expt-iter b n 1.0))

1.17

(define (mult-new a b)

    (define (even? b)

(= (remainder b 2) 0))

    (define (double x) (+ x x))

    (define (halve x)

   (/ x 2))

    (define (fast-mult-new a b)

(cond ((= b 0) 0)

     ((even? b) (double (fast-mult-new a (halve b))))

     (else (+ a (fast-mult-new a (- b 1))))))

    (fast-mult-new a b))

1.18

(define (mult-new a b)

    (define (even?

b)

(= (remainder b 2) 0))

    (define (double x) (+ x x))

    (define (halve x) (/ x 2))

    (define (improve x)

(if (even?

x)

   (halve x)

   (halve (- x 1))))

    (define (fast-mult-iter a counter product)

(if (= counter 0)

   product

   (if (even? counter)

(fast-mult-iter (double a) (improve counter) product)

(fast-mult-iter (double a) (improve counter) (+ product a)))))

    (fast-mult-iter a b 0.0))

1.19

p' = p^2 + q^2

q' = 2*p*q + q^2

(define (fib n)

    (define (calc-p p q)

(+ (* p p)

  (* q q)))

    (define (calc-q p q)

(+ (* 2 p q)

  (* q q)))

    (define (fib-iter a b p q count)

(cond ((= count 0) b)

     ((even? count)

      (fib-iter a

b

(calc-p p q)

(calc-q p q)

(/ count 2)))

     (else (fib-iter (+ (* b q) (* a q) (* a p))

     (+ (* b p) (* a q))

     p

     q

     (- count 1)))))

    (fib-iter 1 0 0 1 n))