BFPRT: O（n）最坏时间复杂度找第K大问题

同时找到最大值与最小值

找到n个元素中的最大/小值，比较次数为n-1, 找到n个元素中的最大值和最小值，可以Two Pass，比较次数为2n-2

也可以One Pass，比较次数至多为\(\left \lfloor 3n/2 \right \rfloor\)

首先对最大值和最小值进行初始化，n为奇数时MAX和MIN均初始化v[0]，n为偶数时MAX和MIN分别初始化为v[0]和v[1]中的最大值和最小值

然后每两个数比较一次，小的数和MIN比较，大的数和MAX比较，共进行三次

• 对于n为奇数，总比较次数为\(3(n-1)/2 = \left \lfloor 3n/2 \right \rfloor\)
• 对于n为偶数，总比较次数为\(3(n-2)/2 + 1= 3n/2 - 2\)

无论哪种情况，总的比较次数至多为\(\left \lfloor 3n/2 \right \rfloor\)

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void findMaxMin(vector<int>& v){

    int n = v.size();
    if(n == 0) return;

    int MIN, MAX, i;
    if(n % 2 == 0){
        if(v[0] > v[1]) {
            MIN = v[1];
            MAX = v[0];
        } else {
            MIN = v[1];
            MAX = v[0];
        }
        i = 2;
    } else {
        i = 1;
        MIN = MAX = v[0];
    }

    while(i < n){
        if(v[i] < v[i+1]){
            MIN = min(v[i], MIN);
            MAX = max(v[i+1], MAX);
        } else {
            MIN = min(v[i+1], MIN);
            MAX = max(v[i], MAX);
        }
        i += 2;
    }

    cout << "MAX = " << MAX << ", MIN = " << MIN << endl;
}
int main(){
    vector<int> v{1,4,3,2,5,6,0,9,6,8,8,9};

    findMaxMin(v);
    return 0;
}

O(n)最坏时间复杂度找到第k大算法（BFPRT）

BFPRT算法可以在O(n)最坏时间复杂度找到第k大，也可用于解决TOP-K问题

215. Kth Largest Element in an Array

随机化使用均摊的思想就不写了，用BFPRT检验下

严格的BFPRT

class Solution {
public:

    void InsertSort(vector<int>& a, int l, int r){
        for(int i = l + 1; i <= r; i++){
            auto x = a[i];
            auto j = i;
            while(j > l && x < a[j-1]){
                a[j] = a[j-1];
                j--;
            }
            a[j] = x;
        }

    }

    int Partiton(vector<int>& a, int l, int r, int m){
        int x = a[m];
        int i = l;
        int j = r;

        swap(a[m], a[l]);
        while(i < j){
            while(i < j && a[j] >= x) j--;
            a[i] = a[j];
            while(i < j && a[i] <= x) i++;
            a[j] = a[i];
        }
        a[i] = x;
        return i;
    }

    int BFPRT(vector<int>& a, int l, int r, int k){
        if(r - l + 1 < 5) {
            InsertSort(a, l, r);
            return l + k - 1;
        }

        int e = l - 1;

        for(int i = l; i + 4 <= r; i += 5){
            InsertSort(a, i, i+4);
            swap(a[++e], a[i+2]);
        }

        int m = BFPRT(a, l, e, (e - l + 1) / 2 + 1);
        int p = Partiton(a, l, r, m);
        int n = p - l + 1;
        if(n == k) return p;
        if(n > k) return BFPRT(a, l, p-1, k);
        return BFPRT(a, p+1, r, k - n);
    }

    int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {

        return nums[BFPRT(nums, 0, nums.size()-1, nums.size() - k + 1)];
    }
};

我自己最开始的写法，对找中位数的BFPRT函数做了特殊处理，使用FindMin代替，减少了无必要的BFPRT递归调用

class Solution {
public:

    int InsertSort(vector<int>& a, int l, int r){
        for(int i = l + 1; i <= r; i++){
            auto x = a[i];
            auto j = i;
            while(j > l && x < a[j-1]){
                a[j] = a[j-1];
                j--;
            }
            a[j] = x;
        }
        return  l + (r - l) / 2;
    }

    int Partiton(vector<int>& a, int l, int r, int m){
        int x = a[m];
        int i = l;
        int j = r;

        swap(a[m], a[l]);
        while(i < j){
            while(i < j && a[j] >= x) j--;
            a[i] = a[j];
            while(i < j && a[i] <= x) i++;
            a[j] = a[i];
        }
        a[i] = x;
        return i;
    }

    int FindMid(vector<int>& a, int l, int r){
        if(r - l + 1 < 5) return InsertSort(a, l, r);
        int p = l - 1;

        for(int i = l; i < r - 5; i += 5){
            int mid = InsertSort(a, i, i+4);

            swap(a[++p], a[mid]);
        }
        return FindMid(a, l, p);
    }

    int BFPRT(vector<int>& a, int l, int r, int k){
        if(l == r) return a[l];

        int m = FindMid(a, l, r);
        int p = Partiton(a, l, r, m);
        int n = p - l + 1;
        if(n == k) return a[p];
        if(n > k) return BFPRT(a, l, p, k);
        return BFPRT(a, p+1, r, k - n);
    }

    int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {
        return BFPRT(nums, 0, nums.size()-1, nums.size() - k + 1);
    }
};

算法分析

当找到中位数的中位数时，除了不能被n整除的剩余组和包含有x的那个组除外，至少有一半的组中每个组至少3个元素大于x，所以大于x的元素个数最少为

\[\begin{aligned}
3 \left \lceil \frac{1}{2}\left \lceil \frac{n}{5}\right \rceil{} -2 \right \rceil \geq \frac{3n}{10} - 6
\end{aligned}
\]

递归选第k大最多有\(7n/ 10 + 6\)个元素

最坏情况下\(T(n) \leq T(\left \lceil n/5 \right \rceil) + T(7n/ 10 + 6) + O(n)\)

假定\(T(n) \leq cn\) 且\(O(n)\)的上界为\(an\)

\[\begin{aligned}
T(n) &\leq c\left \lceil n/ 5 \right \rceil + c(7n/ 10 + 6) + an\\
&\leq cn/5 + c + 7cn/10 + 6c + an \\
& = 9cn / 10 + 7c + an \\
& = cn + (-cn/10) + 7c + an
\end{aligned}
\]

只要使得\(-cn/10 + 7c + an \leq 0\)即可， 也就是$c \geq 10a(n / n - 70) $ 假设n>140,则\((n / n - 70) \leq 2\), 选择\(c \geq 20a\)即可

问题

• 如果每组分为3个元素，BFPRT的运行时间是线性的吗？不是（\(T(n) \leq T(\left \lceil n/ 3 \right \rceil) + T(2n/3 + 4)\)，由此得到常数项a,c为0时才满足线性时间，不符合）
• 每组分为7个呢？是

参考

• 算法导论第三版9.3
• BFPRT算法原理

TODO

k分位数