前置姿势

\(k\)维空间内两点曼哈顿距离中绝对值的处理

戳这里:[CF1093G]Multidimensional Queries

多路增广的费用流

据说这个东西叫做ZKW费用流?

流程其实很简单,就是把EK中的单路回溯改成利用DFS多路增广,类似Dinic那样,可以看作是EK的一个优化。需要注意的是要标记从源点到当前点的路径,以免陷入零环无法自拔。

代码

bool spfa(){
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
rin(i,1,n)cur[i]=head[i];
while(!q.empty())q.pop();
dis[s]=0,book[s]=true;q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
trav(i,x){
int ver=e[i].to;
if(e[i].cap&&dis[ver]>dis[x]+e[i].cost){
dis[ver]=dis[x]+e[i].cost;
if(!book[ver]){
book[ver]=true;
q.push(ver);
}
}
}
book[x]=false;
}
return dis[t]<1e9;
} int dfs(int x,int pref){
if(x==t||!pref)return pref;
int temp=0,flow=0;insta[x]=true;
for(int &i=cur[x];i;i=e[i].nxt){
int ver=e[i].to;if(insta[ver])continue;
if(dis[ver]==dis[x]+e[i].cost&&(temp=dfs(ver,std::min(pref,e[i].cap)))){
e[i].cap-=temp;
e[i^1].cap+=temp;
flow+=temp;
pref-=temp;
mincost+=temp*e[i].cost;
if(!pref)break;
}
}
insta[x]=false;
return flow;
} void ek(){
while(spfa())maxflow+=dfs(s,1e9);
}

分析

显然费用流,直接建图的话每一对红球和蓝球(的位置)都需要连边,一共要连\(O(N^2)\)条边,再跑费用流的话显然时间爆炸。

注意到把绝对值拆开后\((x,y)\)系数只有\(2^2\)种可能性,并且两个球的距离是这四种情况中最大值,所以我们可以对四种情况分开处理,因为我们知道一对匹配的费用取的一定是最大值,即这两个球的距离。

具体如何建图可以参考代码。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define rin(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define irin(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define trav(i,a) for(int i=head[a];i;i=e[i].nxt)
#define Size(a) (int)a.size()
#define pb push_back
#define mkpr std::make_pair
#define fi first
#define se second
#define lowbit(a) ((a)&(-(a)))
typedef long long LL; using std::cerr;
using std::endl; inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
} const int MAXN=1005; int n,s,t,ecnt=1,head[MAXN<<1]; struct Edge{
int to,nxt,cap,cost;
}e[MAXN*20]; inline void add_edge(int bg,int ed,int ca,int co){
++ecnt;
e[ecnt].to=ed;
e[ecnt].nxt=head[bg];
e[ecnt].cap=ca;
e[ecnt].cost=co;
head[bg]=ecnt;
} int maxflow,cur[MAXN<<1];
LL mincost,dis[MAXN<<1];
bool book[MAXN<<1],insta[MAXN<<1];
std::queue<int> q; bool spfa(){
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
rin(i,1,t)cur[i]=head[i];
while(!q.empty())q.pop();
dis[s]=0,book[s]=true;q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
trav(i,x){
int ver=e[i].to;
if(e[i].cap&&dis[ver]>dis[x]+e[i].cost){
dis[ver]=dis[x]+e[i].cost;
if(!book[ver]){
book[ver]=true;
q.push(ver);
}
}
}
book[x]=false;
}
return dis[t]<1e18;
} int dfs(int x,int pref){
if(x==t||!pref)return pref;
int temp=0,flow=0;insta[x]=true;
for(int &i=cur[x];i;i=e[i].nxt){
int ver=e[i].to;if(insta[ver])continue;
if(dis[ver]==dis[x]+e[i].cost&&(temp=dfs(ver,std::min(pref,e[i].cap)))){
e[i].cap-=temp;
e[i^1].cap+=temp;
flow+=temp;
pref-=temp;
mincost+=1ll*temp*e[i].cost;
if(!pref)break;
}
}
insta[x]=false;
return flow;
} void ek(){
while(spfa())maxflow+=dfs(s,1e9);
} int main(){
n=read();
int x0=n*2+1,x1=x0+1,x2=x1+1,x3=x2+1;
s=x3+1,t=s+1;
rin(i,1,n){
int rx=read(),ry=read(),rc=read();
add_edge(s,i,rc,0);
add_edge(i,s,0,0);
add_edge(i,x0,1e9,rx+ry);
add_edge(x0,i,0,-rx-ry);
add_edge(i,x1,1e9,rx-ry);
add_edge(x1,i,0,-rx+ry);
add_edge(i,x2,1e9,-rx+ry);
add_edge(x2,i,0,rx-ry);
add_edge(i,x3,1e9,-rx-ry);
add_edge(x3,i,0,rx+ry);
}
rin(i,1,n){
int bx=read(),by=read(),bc=read();
add_edge(n+i,t,bc,0);
add_edge(t,n+i,0,0);
add_edge(x0,n+i,1e9,-bx-by);
add_edge(n+i,x0,0,bx+by);
add_edge(x1,n+i,1e9,-bx+by);
add_edge(n+i,x1,0,bx-by);
add_edge(x2,n+i,1e9,bx-by);
add_edge(n+i,x2,0,-bx+by);
add_edge(x3,n+i,1e9,bx+by);
add_edge(n+i,x3,0,-bx-by);
}
ek();
printf("%lld\n",-mincost);
return 0;
}

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