五一DAY1数论学习笔记

by ruanxingzhi

整除性

如果a能把b除尽，也就是没有余数，则我们称a整除b，亦称b被a整除。（不是除以，是整除！！）

记作：$a|b$

|这个竖杠就是整除符号

整除的性质

自反性

对于任意$n$,有$n|n$.

传递性

若有$a|b,b|c$,则$a|c$.

反对称性

如果$a|b$,且$b|a$,则$a=b$

约数和倍数

如果$a|b$，那么$a$是$b$的约数，$b$是$a$的倍数。称$a$为$b$的因子。

从而得到重要推论：

任何数$n$至少有两个因子：$1$和$n$自身。我们将它们称为$n$的平凡因子。(其他的因子为非平凡因子)

$[1,n]$的整数中，$k$的倍数有$\frac{n}{k}$个

计算

如何计算$[1,n ]$中每个数的约数个数

n的约数个数记为$d(n)$.要求给出一个$O(n log n)$的算法。

做法：暴力打标记

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int d[100005],n;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;i*j<=n;j++){
			d[i*j]++;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("d[%d]=%d\n",i,d[i]);
	}
	return 0;
}

质数

质数是不存在非平凡因子的数

即只存在1和自己本身这两个约数的数

e.g.

$2.3,5,7,19260817......$

判断质数

求一个数是不是质数$O(\sqrt{n})$做法

bool prime(int x){
	if(x==1)return false;
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i==0)return false;
	}
	return true;
}

n的因子成对出现，一般情况下，$n=a*b$，则a，b中一个大于等于$\sqrt{n}$，一个小于等于$\sqrt{n}$

如何证明质数有无限个

【反证】假设质数有限

分别为$p_1,p_2,p_3......p_n$

有$m=p_1*p_2*p_3*...*p_n+1$

则$m\%p_1=1,m\%p_2=1,m\%p_3=1.......m\%p_n=1$

质数的性质

设$π(n)$为不超过$n$的质数个数。那么有：

$$π(n)\sim\frac{n}{ln;n}$$

$π(n)$是质数分布函数，$n$越大，质数的分布越稀疏

质数判断

朴素想法就是逐个判断，然而它的复杂度是$O(n\;\sqrt{n})$（It is so big！）

所以我们使用筛法（小学学的，就比如100以内的数筛去2,3,5,7的倍数之后剩下的数就都是质数了）

为什么我们不需要使用4,6,8,9这些合数去筛？

前面我们学过整除的传递性，在这里就能用上了

若$a|b$,$b|c$,则$a|c$

所以筛了2，一定筛了4,6,8

筛了3时，一定筛掉了6，9

所以这些数早就被筛过了

我们为何要再用他们去筛呢

代码实现

//埃氏筛法求素数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool notprime[10005]={0};
int main(){
	int n,i,a;
	cin>>n;
	for(a=2;a<=n;a++){
		if(notprime[a]==0){
			printf("%d\t",a);
			for(i=2;i*a<=n;i++){
				notprime[i*a]=1;
			}
		}
	}
}

更多素数的知识请参考这里

Mono_pigsicklie的有关素数的小结

质因数分解

每个数都可以拆成质数乘积的方式。这个过程叫做质因数分解。

$5 = 5 = 5^1$

$15 = 3 * 5 = 3^1 * 5^1$

$36 = 2 * 2 * 3 * 3 = 2^2 * 3^2$

我们可以保证：这样的分解方式是唯一的

质因数分解可以$O（\sqrt{n}）$完成

//质因数分解
int work(int x,int p[]){
	int cnt=0;
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		while(x%i==0){
			p[cnt++]=i;
			x/=i;
		}
	}
	if(x>1)p[cnt++]=i;
	return cnt;
}

模

回顾小学除法

一个数除以另一个数，得到商和余数

$17÷5=3......2$ -----> $17=\lfloor\frac{17}{5}\rfloor*5+17\%5=3*5+2$

普遍的我们可以这样来表示除法：

$$a=\lfloor\frac{a}{p}\rfloor * p+a%p$$

其中$p$是除数，$\lfloor\frac{a}{p}\rfloor$是商，$a\%p$是余数

显然，如果p能将a整除，那么a ÷ p的余数为0.

也就是说：$p|a$当且仅当$a\%p=0$.

所以，我们判断$p$能否整除$a$，就只需要判断$a\%p$是否为$0$。

这很方便用代码实现。

模的性质

值域

首先，由于模是取余，所以$a\%p$一定落在$[0, p -1]$之间。

随时取模性质

在只含加法和乘法的式子中，如果最后的运算结果需要对$p$取模，那么你可以在运算过程中随便取模。

只需要最后把结果对$p$再取模，答案就是正确的。

如何保证取模之后得到的数一定是正数？

公式：$(a\%b+b)\%b$

GCD与LCM

$gcd(a,b)$:$a,b$的最大公因数

$lcm(a,b)$:$a,b$的最小公倍数

最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。$a$，$b$的最大公约数记为$（a，b）$，同样的，$a$，$b$，$c$的最大公约数记为$（a，b，c）$，多个整数的最大公约数也有同样的记号。

求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，$a$，$b$的最小公倍数记为$[a，b]$。

Small Quiz

如果我们把A分解成了$2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}…$

把B分解成了$2^{b_1}3^{b_2}5^{b_3}…$

1、如何快速求$gcd(a,b)?$

设$d=2^{P_1}3^{P_2}5^{P_3}…$

则很容易得到

$P_1\le a_1,P_1 \le b_1$

$P_2\le a_2,P_2 \le b_2$

$P_3\le a_3,P_3 \le b_3…$

所以a,b的最大公因数$$d=2^{{min(a_{1},b_1)}3}{min(a_{2},b_2)}5^{min(a_3,b_3)}…$$

2、如何快速求$lcm(a,b)?$

类似的只要把上面的$min$改成$max$就好了

$$c=2^{{max(a_{1},b_1)}3}{max(a_{2},b_2)}5^{max(a_3,b_3)}…$$

一个小式子：$gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b$

以a=1008，b=60为例：

$1008=2^43^25^07^1$

$60=2^23^15^17^0$

$gcd(a,b)=2^23^15^07^0=$

$lcm(a,b)=2^43^25^17^1$

$gcd*lcm=2^23^15^07^02^43^25^17^1=1008*60$

如何求GCD

直接给出两个数，如何求$gcd(a,b)$?

做法：GCD递归定理

\[gcd(a,b)=gcd(b,a\% b)
\]

等价的写法:$gcd(a,b)=gcd(a\%b,b)$

代码实现

\\递归
int gcd(int a,int b){
	if(b==0)return a;
	return gcd(b,a%b);
}

\\迭代
int gcd(int m, int n) {
	while(m>0) {
		int c=%m;
		n=m;
		m=c;
	}
	return n;
}

一条性质

记$F[n]$为斐波那契数列的第$n$项，则有

$$gcd(F[a],F[b])=F[gcd(a,b)]$$

求lcm

$lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b$