Luogu 2822[NOIP2016] 组合数问题 - 数论

题解

乱搞就能过了。

首先我们考虑如何快速判断C(i, j ) | k 是否成立。

由于$k$非常小， 所以可以对$k$分解质因数， 接着预处理出前N个数的阶乘的因数中 $p_i$ 的个数, 然后就可以$O(1)$判断C(i,j）| k

然后用mk[i][j] 记录 C(i, j) | k ， 并将它转化为二位前缀和， 每次查询只需要输出mk[ n ][ m ]即可

预处理时间复杂度：$O(NlnN + NM)$

每次查询$O(1)$

代码

 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rd read()

 const int N = 2e3 + ;

 int T, k, n, m;
 int pri[], cnt[], tot;
 int num[N][], mk[N][N];

 int read() {
     int X = , p = ; char c = getchar();
     for(; c > '' || c < ''; c = getchar()) if(c == '-') p = -;
     for(; c >= '' && c <= ''; c = getchar()) X = X *  + c - '';
     return X * p;
 }

 int fpow(int a, int b) {
     int re = ;
     for(; b; b >>= , a *= a) if(b & ) re *= a;
     return re;
 }

 int jud(int x, int y) {
     for(int i = ; i <= tot; ++i) {
         int re = ;
         re += num[x][i];
         re -= num[y][i];
         re -= num[x - y][i];
         if(re < cnt[i]) return ;
     }
     return ;
 }

 void init() {
     int t = k;
     for(int i = ; i <= k; ++i) if(t % i == ) {
         pri[++tot] = i;
         while(t % i == ) cnt[tot]++, t /= i;
     }
     for(int j = ; j <= tot; ++j)
         for(int l = ; ; ++l) {
             int p = fpow(pri[j], l);
             if(p >= N) break;
             for(int i = ; i < N; ++i) num[i][j] += i / p;
         }
     for(int i = ; i < N; ++i)
         for(int j = ; j <= i; ++j) if(jud(i, j)) mk[i][j] = ;
     for(int i = ; i < N; ++i)
         for(int j = ; j < N; ++j) mk[i][j] += mk[i - ][j];
     for(int i = ; i < N; ++i)
         for(int j = ; j < N; ++j) mk[i][j] += mk[i][j - ];
 }

 int main()
 {
     T = rd; k = rd;
     init();
     for(; T; T--) {
         n = rd; m = rd;
         printf("%d\n", mk[n][m]);
     }
 }