SPFA算法 O(kE)

主要思想是：

    初始时将起点加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与它相邻的点进行修改，若某个相邻的点修改成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。

    这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法。

SPFA 在形式上和广度优先搜索非常类似，不同的是广度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是说一个点修改过其它的点之后，过了一段时间可能会获得更短的路径，于是再次用来修改其它的点，这样反复进行下去。

算法时间复杂度：O(kE)，E是边数。K是常数，平均值为2。

算法实现：

    dis[i]记录从起点s到i的最短路径，w[i][j]记录连接i，j的边的长度。pre[v]记录前趋。

    team[1..n]为队列，头指针head，尾指针tail。

    布尔数组exist[1..n]记录一个点是否现在存在在队列中。

    初始化：d[s]=0,d[v]=∞（v≠s），memset(exist,false,sizeof(exist));

    起点入队team[1]=s; head=0; tail=1;exist[s]=true;

    do

    {1、头指针向下移一位，取出指向的点u。

    2、exist[u]=false;已被取出了队列

    3、for与u相连的所有点v  //注意不要去枚举所有点，用数组模拟邻接表存储

       if (d[v]>d[u]+w[u][v])

         {   d[v]=d[u]+w[u][v];

             pre[v]=u;

             if (!exist[v]) //队列中不存在v点，v入队。

               {         //尾指针下移一位，v入队;

                    exist[v]=true;

                 }

          ｝

    }

    while (head < tail);

循环队列：

　　采用循环队列能够降低队列大小，队列长度只需开到2*n+5即可。例题中的参考程序使用了循环队列。

完整代码：

 //spfa

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const int maxn=0x7f;
 bool vis[];
 int map[][],dis[],queue[],path[];
 int n,m,head=,tail=,now;

 void spfa(int x)
 {
     queue[head]=x;
     vis[x]=true;
     dis[x]=;
     path[x]=x;
     while(head<tail)
     {
         now=queue[head];
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(dis[i]>dis[now]+map[now][i])
             {
                 dis[i]=dis[now]+map[now][i];
                 path[i]=now;
                 if(vis[i]==false)
                 {
                     queue[tail++]=i;
                     vis[i]=true;
                 }
             }
         }
     vis[now]=false;
     head++;
     }
 }
 void print(int st,int en)
 {
     int q[];
     int tot=;
     q[tot]=en;
     tot++;
     int temp=path[en];
     while(temp!=st)
     {
         q[tot]=temp;
         tot++;
         temp=path[temp];
     }
     q[tot]=st;
     for(int i=tot;i>=;i--)
     {
         if(i!=)
           printf("%d -- >",q[i]);
         else
           printf("%d",q[i]);
     }
     cout<<endl;
 }
 int main()
 {
     memset(map,maxn,sizeof(map));
     scanf("%d%d",&n,&m);
     int he,ta,len;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         cin>>he>>ta>>len;
         map[he][ta]=map[ta][he]=len;
     }
     memset(dis,maxn,sizeof(dis));
     memset(vis,false,sizeof(vis));
     memset(queue,,sizeof(queue));
     int start,end;
     scanf("%d%d",&start,&end);
     spfa(start);
     printf("%d\n",dis[end]);
     print(start,end);
     return ;
 }