【ZOJ】1015 Fishing Net

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1015

题意：给出一个n个点的无向图，询问是否为弦图，弦图定义为对于图中任意长度>3的环一定存在环上不相邻的点有边相连（n<=1000）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1005;
int n, m, ihead[N], cnt, tag[N], pos[N];
bool vis[N];
struct E { int next, to; }e[N*N];
void add(int u, int v) {
	e[++cnt]={ihead[u], v}; ihead[u]=cnt;
	e[++cnt]={ihead[v], u}; ihead[v]=cnt;
}
void cln() {
	memset(ihead, 0, sizeof(int)*(n+1));
	memset(tag, 0, sizeof(int)*(n+1));
	memset(pos, 0, sizeof(int)*(n+1));
	cnt=0;
}
bool check() {
	int x, y, mn, mx;
	for(int now=n; now; --now) {
		mx=-1; mn=~0u>>1; x=y=0;
		for(int i=1; i<=n; ++i) if(!pos[i] && tag[i]>mx) mx=tag[i], x=i;
		pos[x]=now;
		for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next) if(!pos[e[i].to]) tag[e[i].to]++;
		for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next) if(pos[e[i].to]>pos[x] && pos[e[i].to]<mn) mn=pos[e[i].to], y=e[i].to;
		for(int i=ihead[y]; i; i=e[i].next) vis[e[i].to]=1; vis[y]=1;
		for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next) if(pos[e[i].to]>pos[x] && !vis[e[i].to]) return 0;
		for(int i=ihead[y]; i; i=e[i].next) vis[e[i].to]=0; vis[y]=0;
	}
	return 1;
}
int main() {
	while(scanf("%d%d", &n, &m), n&&m) {
		int x, y;
		for(int i=0; i<m; ++i) { scanf("%d%d", &x, &y); add(x, y); }
		check()?puts("Perfect"):puts("Imperfect"); puts("");
		cln();
	}
	return 0;
}

　　

弦图判定裸题= =详细看cdq的论文= =《弦图与区间图》

弦图定义上边说了= =

下面来说一下性质：

团：一个完全图，即团中任意点对都有边相连。

单纯点：如果$x$及其相邻的点组成了一个团，那么$x$就是一个单纯点。

完美消除序列：一个点的序列，每个点出现有且一次，且满足对于任意$v_i$，在$v_{i+1} \cdots v_{n}$的诱导子图中$v_i$是一个单纯点。

定理1：一个弦图至少有一个完美消除序列。（证明看论文）

定理2：弦图的诱导子图也是弦图

所以裸的找完美序列的算法就是每一次找不在完美序列的点试着加入当前维护的完美序列中看是否为一个单纯点，如果是则加入。当然这是裸暴力= =

于是cdq论文介绍了两种算法= =一种是字典序bfs..一种是最大势算法，由于我看网上实现都是最大势算法（mcs算法）= =于是我就学下最大势就ok了..反正两种算法复杂度都是$O(n+m)$

首先mcs的原理是先找出一个序列然后判断这是否为一个完美消除序列。那么mcs算法是如何找出一个序列的呢？

鬼知道！反正貌似这就是一种贪心QAQcdq论文也没有解释QAQ，每一次向完美序列前面加一个点，而每次加入的点是与当前维护序列中的点连边最多的不在序列中的点= =这是什么鬼啊！

所以算法就是每一次找与序列中的点连边最多的不在序列中的点，加入= =

最后判断这个序列是否合法：

如果我们要判断$v_i$这个点，即要在$v_{i+1} \cdots v_{n}$找出与$v_i$相邻的点集$v_{j_1}, v_{j_2}, \cdots v_{j_k}$，且是按在序列的顺序从小到大的顺序。那么我们只需要判断$v_{j_1}$与$v_{j_i}, i>1$是否有边相连即可，如果没有，这个图就不是弦图。因为这是按顺序加入到序列中的，我们又要求这个点集是一个团，那么显然我们只需要判断在序列中最前面的$v_{j_1}$与其它是否相连即可，因为$v_{j_i}, i>1$都已经判断过了= =

在找连边最多的点那一步，是能用链表优化到$O(1)$的，但是我太懒了，直接暴力= =反正本题能过...就算不用$O(1)$的，我们也可以用set = =