Codeforces-591C题解
一、题目链接
http://codeforces.com/problemset/problem/591/C
二、题意
给定一个只含数字0和1的数组,通过如下方式,变成不再变化的01组合,最少需要操作几次。并输出最后得到的“稳定”01串。
操作方式:数组开头和结尾两个数不变,对于不是开头和结尾的数字a[i],a[i] = (a[i - 1], a[i], a[i + 1])三个数的中位数。
比如:1 0 1 0 1 0 1
一次:1 1 0 1 0 1 1
两次:1 1 1 1 1 1 1
输出:2
1 1 1 1 1 1 1
三、思路
1、这题纯属找规律题,对于连续一排(两个及以上)的0或1,无论怎么变,都和原来一样。
2、对于101010......这种组合:
(1)如果长度为奇数,则通过若干次操作后可使这一段变为和开头元素一样。即开头和结尾是0,则通过若干次操作后这段序列变成000……000,如果开头和结尾是1,则通过若干次操作后这段序列变成111……111。
(2)如果长度为偶数,如果头是0、尾是1,则通过若干次操作后这段变成前一半是0,后一半是1;如果头是1、尾是0,则通过若干次操作后这段变成前一半是1,后一半是0。
3、对于操作次数的问题,可以打表找到规律如下。
4、可以发现,当长度为2n + 1时(头尾是0和头尾是1是一样的),需要操作的次数为n。同理,当长度为2n时(头尾为0……1和头尾为1……0是一样的),需要操作的次数为n - 1。
5、找到规律后,遍历一次数字串,记录满足01交叉的子串的起始和末尾下标。然后遍历所有满足01交叉的子串,使用上述规律,记录操作次数的最大值即为结果的第一部分。同时,对该子串使用上述规律做替换,然后输出整个序列即可。
四、正确性证明
如果某段a[i], a[i + 1], ……,a[j]子串满足01交叉,len = j - i + 1:
1、如果len为奇数,不妨假设为1010……101,则a[i - 1]和a[j + 1]必为1(不然还可以更长),因为串头和串尾是不变的,而且每操作一次,最靠近开头和结尾的0就会变成1,所以,这段子串必然要经过上述的规律次数才能变成“稳定”串(因为没人可以帮它,它也不能帮别人)。所以上述找规律的操作对于每一段满足01交叉的子串都是独立的,不会相互影响。同理,0101……010这样的子串道理也是一样的。
2、如果len为偶数,不妨假设为1010……10,则a[i - 1]必为1,a[j + 1]必为0(不然还可以更长),然后证明过程和上述一样了。
五、源代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n; ]; typedef pair<int, int> PII; vector<PII> vec; int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("input.txt", "r", stdin); #endif // ONLINE_JUDGE int s, t; while(~scanf("%d", &n)) { vec.clear(); ; i <= n; ++i)scanf("%d", a + i); ; i <= n; ++i) { ]) { ; i <= n && a[i] ^ a[i - ]; ++i); t = i; vec.push_back(make_pair(s, t)); } } ; , sz = vec.size(); i < sz; ++i) { PII& p = vec[i]; int len = p.second - p.first; == ) { ans = max(ans, (len - ) / );//len为奇数,len / 2 == (len - 1) / 2。 for(int k = p.first; k < p.second; ++k)a[k] = a[p.first]; } else { ans = max(ans, (len - ) / ); ; ++k)a[k] = a[p.first]; ; k < p.second; ++k)a[k] = a[p.second - ]; } } printf("%d\n", ans); ;i <= n;++i)printf("%d%c", a[i], i < n ? ' ' : '\n'); } ; }
六、附:找规律程序源代码(注意体会二进制的思想)
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int bit(long long& a, int x) { ; } int main() { ; i <= ; i += ) { , b = ; ; j < i; j += )a |= 1LL << j; ; && a != (1LL << i) - ) { b = a; ; j < i - ; ++j) { ) == bit(a, j + ) && bit(a, j - ) == )b |= (1LL << j); ) == bit(a, j + ) && bit(a, j - ) == )b &= ~(1LL << j); } a = b; ++cnt; } printf("len = %d, cnt = %d\n", i, cnt); } ; }
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