BZOJ1013 JSOI2008 球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2

0.0 0.0

-1.0 1.0

1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：

　　1、球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

　　2、距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

对于每两个n维点p1和p2，若球心是p，可以得到方程

dis=sqrt((p11−p1)2+(p12−p2)2+...+(p1n−pn)2)" role="presentation">dis=sqrt((p11−p1)2+(p12−p2)2+...+(p1n−pn)2)dis=sqrt((p11−p1)2+(p12−p2)2+...+(p1n−pn)2)

dis=sqrt((p21−p1)2+(p22−p2)2+...+(p2n−pn)2)" role="presentation">dis=sqrt((p21−p1)2+(p22−p2)2+...+(p2n−pn)2)dis=sqrt((p21−p1)2+(p22−p2)2+...+(p2n−pn)2)

所以可以发现

dis2=(p11−p1)2+(p12−p2)2+...+(p1n−pn)2=(p21−p1)2+(p22−p2)2+...+(p2n−pn)2" role="presentation">dis2=(p11−p1)2+(p12−p2)2+...+(p1n−pn)2=(p21−p1)2+(p22−p2)2+...+(p2n−pn)2dis2=(p11−p1)2+(p12−p2)2+...+(p1n−pn)2=(p21−p1)2+(p22−p2)2+...+(p2n−pn)2

完全平方项展开后可以发现只关于p元素的完全平方项可以消除，整理得

2∗(p11−p21)∗p1+2∗(p12−p22)∗p2+...+2∗(p1n−p2n)∗pn=(p11)2+(p12)2+...(p1n)2−(p21)2−(p22)2−...−(p2n)2" role="presentation">2∗(p11−p21)∗p1+2∗(p12−p22)∗p2+...+2∗(p1n−p2n)∗pn=(p11)2+(p12)2+...(p1n)2−(p21)2−(p22)2−...−(p2n)22∗(p11−p21)∗p1+2∗(p12−p22)∗p2+...+2∗(p1n−p2n)∗pn=(p11)2+(p12)2+...(p1n)2−(p21)2−(p22)2−...−(p2n)2

发现是关于p元素的一次方程，又因为给出了n+1个n维坐标，所以可以得到一个n元一次方程组，用高斯消元解决

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define N 30

int n;

double a[N][N];

void gauss(){

    for(int i=1;i<=n;i++){

        int r=i;

        for(int j=i+1;j<=n;j++)

            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i]))r=j;

        if(r!=i)for(int j=1;j<=n+1;j++)swap(a[r][j],a[i][j]);

        for(int k=i+1;k<=n;k++){

            double f=a[k][i]/a[i][i];

            for(int j=i;j<=n+1;j++)a[k][j]-=f*a[i][j];

        }

    }

    for(int i=n;i;i--){

        for(int j=i+1;j<=n;j++)

            a[i][n+1]-=a[j][n+1]*a[i][j];

        a[i][n+1]/=a[i][i];

    }

}

int main(){

    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&a[0][i]);

    for(int i=1;i<=n;i++)

        for(int j=1;j<=n;j++){

            double t;scanf("%lf",&t);

            a[i][j]=2.0*(t-a[0][j]);

            a[i][n+1]+=t*t-a[0][j]*a[0][j];

        }

    gauss();

    for(int i=1;i<=n;i++)

        printf("%.3lf ",a[i][n+1]);

    return 0;

}