luogu P3223 [HNOI2012]排队

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原谅我没学过组合数学 没有高中数学基础水平...

不过凭着隔板法的应用还是可以推出来的。

首先考虑女生 发现一个排列数m! 两个女生不能相邻 那么理论上来说存在无解的情况 而这道题好些没有特意去说明无解输出什么。

这里还是尽量特判一下吧。然后考虑要在m-1个空隙中插入人 人可以是男生或者是老师。这里我们假设老师不区别对待

那么就是 n+2个人 我们先强制插入了m-1个人 剩余n+3-m个人 剩下的人 此时存在m+1个空隙了 隔板法可知此时的方案数为C(n+3-m+m+1-1,m+1-1);

化简为C(n+3,m); 可以发现此时老师和男生的排列可以任意 所以要乘上一个(n+2)!。

我们考虑不合法的方案 两个老师在一起了 把老师当成一个人 单独乘上2! 再按照刚才计算方案的方法计算即可。

第一步的方案数：m!(n+2)!C(n+3,m) 减去第二部的方案数:2!m!(n+1)!C(n+2,m);

可以发现我们已经统计了所有可能发生的情况。

唯一可能发生的情况就是无解。

还有一种思考方式 先考虑女孩 再把男孩插入其中 最后插如老师 老师此时带来的贡献为(n+m+1)*(n+m);

但是这种方法存在漏洞 这样会出现男孩不够m-1时需要老师 而我们老师插入的时候已经默认完全合法了。

当n>=m-1时是可行的 这个方法要特判更多 没有上述方法特判无解来的快。

还有一种解法：先考虑老师 考虑没有限制 n+2个男孩 m个女生 有n+3个空隙可以放女生 此时方案数为C(n+3,m)

总方案为 m!(n+2)!C(n+3,m) 需要减掉的方案和刚才一样 这种是插空法 和我们的隔板法有异曲同工之妙 但是比隔板法要简单。

主要运用的是 找到空隙插入而并非强制让空隙不存在。

两种方法是等效的 我们高兴的是 遇到这种题目 思路不同但是得到的确实相同。

值得注意的是需要使用高精度。

高精除以高精显然要难写的很多...(我也不太会写 所以这里还是考虑分解质因数约分 最后变成高精乘单精 高精减高精。

值得注意的是 可以练习一下压位操作 我们一次乘法最大数字2000 所以可以压上15位 这样可以让程序跑的更快一点。

//#include<bits\stdc++.h>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define ldb long double
#define pb push_back
#define get(x) x=read()
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define gc(a) scanf("%s",a+1);
#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
#define pii pair<int,int>
#define F first
#define S second
#define mk make_pair
#define mod 1000003
#define RE register
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define ull unsigned long long
#define P 1000000000000000ll
#define INF 999999999999999ll
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
	return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
	RE int x=0,f=1;char ch=getc();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getc();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getc();}
	return x*f;
}
const int MAXN=2010,maxn=2000000;
int n,m,maxx,top;
int p[MAXN],v[MAXN],c[MAXN];
inline void prepare()
{
	rep(2,maxx,i)
	{
		if(!v[i])v[i]=p[++top]=i;
		rep(1,top,j)
		{
			if(maxx/i<p[j]||v[i]<p[j])break;
			v[i*p[j]]=p[j];
		}
	}
}
struct wy
{
	int len;
	ll a[MAXN];
	wy(){memset(a,0,sizeof(a));len=0;}
	void mul(int x)
	{
		ll res=0;
		rep(0,len,i)
		{
			a[i]=a[i]*x;
			a[i]=a[i]+res;
			res=a[i]/P;
			a[i]=a[i]%P;
		}
		if(res)a[++len]=res;
	}
	inline void print()
	{
		printf("%lld",a[len]);
		fep(len-1,0,i)printf("%015lld",a[i]);
	}
	inline wy friend operator -(wy x,wy y)
	{
		wy w;w.len=x.len;
		fep(x.len,0,i)
		{
			w.a[i]=x.a[i]-y.a[i];
			if(w.a[i]<0)
			{
				int j=i+1;
				while(!w.a[j])++j;
				--w.a[j];w.a[i]+=P;
				fep(j-1,i+1,k)w.a[k]+=INF;
			}
		}
		while(!w.a[w.len]&&w.len)--w.len;
		return w;
	}
}A,B;
inline void fj(int x,int y)
{
	for(int i=1;p[i]*p[i]<=x;++i)
		while(x%p[i]==0)
		{
			x/=p[i];
			c[p[i]]+=y;
		}
	if(x>1)c[x]+=y;
}
int main()
{
	//freopen("1.in","r",stdin);
	get(n);get(m);maxx=2000;prepare();
	if(m>n+3){puts("0");return 0;}
	rep(2,n+2,i)fj(i,2);fj(n+3,1);
	rep(2,n+3-m,i)fj(i,-1);
	A.a[0]=1;B.a[0]=1;
	rep(1,maxx,i)while(c[i])A.mul(i),--c[i];
	//cout<<A.a[A.len]<<endl;
	//A.print();
	if(m>n+2){A.print();return 0;}
	rep(2,n+1,i)fj(i,2);fj(n+2,1);fj(2,1);
	rep(2,n+2-m,i)fj(i,-1);
	rep(1,maxx,i)while(c[i])B.mul(i),--c[i];
	A=A-B;A.print();return 0;
}

关于压位的一个坑点 输出的时候 格式为先输出最后一个 然后剩下的利用printf("%xmd")的格式 原本%md的意思是指不够m位左边补空格 xmd 表示左边补x.

注意此时x为0.还有做减法的时候要注意判断len是否等于0 不然数组下标容易越界。