NOIP2009最优贸易[spfa变形|tarjan 缩点 DP]

题目描述

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个

城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分

为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价

格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息

之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城

市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的

过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方

式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另

一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定

这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路

为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3

号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格

买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号

以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的

数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城

市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，

表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市

y 之间的双向道路。

输出格式：

输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，

则输出 0。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

【数据范围】

输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市

水晶球价格≤100。

NOIP 2009 提高组第三题

很明显要求每个点之前的最小点和之后的最大点

暴力的话O(n^2)

50%是DAG，直接DP就行了

如果不是DAG，没法直接用DP，有两种思路

1.将spfa变形，从求d[i]变成求mn[i]和mx[i]，当然要正反建图

2.tarjan求强连通分量，然后缩点再DP

当然是spfa好写了

//

//  main.cpp

//  noip2009c

//

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//

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <queue>

using namespace std;

const int N=1e5+,M=5e5+,INF=1e9;

inline int read(){

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}

    return x*f;

}

int n,m,x,y,z,w[N];

struct edge{

    int v,ne,vf,nef;

}e[M<<];

int h[N],cnt=,hf[N];

void ins(int u,int v){

    cnt++;

    e[cnt].v=v;e[cnt].ne=h[u];h[u]=cnt;

    e[cnt].vf=u;e[cnt].nef=hf[v];hf[v]=cnt;

}

int q[N],head=,tail=,inq[N];

int mn[N],mx[N];

inline void lop(int &x){if(x==N-) x=;}

void spfa1(){

    memset(mn,,sizeof(mn));

    q[tail++]=;

    mn[]=w[];

    while(head!=tail){

        int u=q[head++];inq[u]=;lop(head);//printf("spfa1 %d\n",u);

        for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){

            int v=e[i].v;

            if(mn[v]>min(mn[u],w[v])){

                mn[v]=min(mn[u],w[v]);

                if(!inq[v]){q[tail++]=v;inq[v]=;lop(tail);}

            }

        }

    }

}

void spfa2(){

    memset(mx,-,sizeof(mx));

    memset(inq,,sizeof(inq));

    head=tail=;

    q[tail++]=n;

    mx[n]=w[n];

    while(head!=tail){

        int u=q[head++];inq[u]=;lop(head);//printf("spfa2 %d %d\n",u,mx[u]);

        for(int i=hf[u];i;i=e[i].nef){

            int v=e[i].vf;

            if(mx[v]<max(mx[u],w[v])){

                mx[v]=max(mx[u],w[v]);

                if(!inq[v]){q[tail++]=v;inq[v]=;lop(tail);}

            }

        }

    }

}

int main(int argc, const char * argv[]) {

    n=read();m=read();

    for(int i=;i<=n;i++) w[i]=read();

    for(int i=;i<=m;i++){

        x=read();y=read();z=read();

        ins(x,y);if(z==) ins(y,x);

    }

    spfa1();

    spfa2();

    int ans=;

    for(int i=;i<=n;i++){

        if(mn[i]<INF&&mx[i]>) ans=max(ans,mx[i]-mn[i]);

        //printf("%d %d %d\n",i,mn[i],mx[i]);

    }

    printf("%d",ans);

    return ;

}