100 Door Puzzle

问题重述：

There are 100 doors in a long hallway. They are all closed. The first time you walk by each door, you open it. The second time around, you close every second door (since they are all opened). On the third pass you stop at every third door and open it if it’s closed, close it if it’s open. On the fourth pass, you take action on every fourth door. You repeat this pattern for 100 passes.

Question: At the end of 100 passes, what doors are opened and what doors are closed?

分析与解答：

这个问题没想通的觉得不难但是很繁，想通了觉得既不难也不繁。主要的想法就是说某编号的门如果被经过了奇数次，则门的状态与起始状态相反；如果被经过了偶数次，则门的状态与起始状态相同。

那么通用的做法是看该门编号对应的数能被多少数整除（除数要小于趟数）。如果除数个数是奇数则判定门的状态为起始状态的相反状态；否则，判定门的状态为起始状态。

这边，要不要这么做呢？wait……马克思爷爷曾经教导我们说：“具体问题具体分析！”。这个问题有什么具体情况呢？那就是：本题的趟数是和门数一致的。也就是说，只要看门的编号能被多少数整除就行了，不必担心需要除数小于等于趟数的限制条件。这样，我们就可以有一个条件了：那就是某个数的两个因子都在限制范围内。我们又发现，只要某个数能表示成两个因子的乘积，而这两个因子又互不相同，那么这两趟算是白跑啦，对门的状态没有影响。那么对门的状态有影响的，就是那两个因子相同的情况。这样，问题的解就是哪些编号为完全平方数的门啦！！！

自此，答案显而易见，状态有变的门的编号为：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。

参考文献：

1.        http://classic-puzzles.blogspot.com/2008/05/door-toggling-puzzle-or-100-doors.html

2.        http://www.theodorenguyen-cao.com/2008/02/02/puzzle-100-doors/