【GDOI 2011 DAY2 T3】零什么的最讨厌了 （快速求阶乘、中国剩余定理）

问题描述：

林记在做数学习题的时候，经常遇到这种情况：苦思冥想了很久终于把问题解出来，结果发现答案是0，久而久之林记在得到习题答案是0的时候就没有了做出一道难题的成就感。于是林记决定：以后出题，答案一定不能是0，例如求n！最低位非零数这样的习题就很不错了。

现在林记提出了一个更难一点的问题：求n！在K进制下的最低位非零数。其中K符合一些特殊的条件：K是由若干个互不相同的质数相乘得出来的，例如K=2,3,5,6,7,10……

输入格式：

首先输入的第一行是一个整数Q，表示询问的个数。

接下来是Q个询问，每个询问有两行组成，第一行首先是一个整数nk，然后紧跟着nk个正整数：m1，m2,……m_nk，则K为所有mi的乘积，输入保证mi是有若干个互不相同的质数相乘得出来的。接下来一行给出一个整数n。

输出格式：

对于每个询问，如果K不符合题目限制，则输出“I hate zero.”（不用加双引号）。否则输出K进制下n！的最低位非零数。

输入样例：	输出样例：
3 1 17 9 1 6 49 1 93 16	15 2 78

数据范围：

对于10%的数据满足：n≤10，K≤100

对于50%的数据满足：n≤100000，K≤100

对于100%的数据满足：n≤10¹⁵，K≤10¹⁵，mi≤10⁶，Q≤20

【分析】

　　快速求阶乘大法！！

　　下面某步还用到 威尔逊定理 （p-1）！%p=p-1...... （也可以预处理出来的）

　　把m分解质因数，对于质数p单独求n！=p^a+b的a的值和b%p的值（logn递归搞定），然后用中国剩余定理合并起来。

　　

　　long long的乘积会爆，所以...要用那个不断乘2的方法：

　　

LL mul(LL x,LL y,LL p)
{
	if(x==0||y==0) return 0;
	LL now=x,yy=y,add=0;
	while(yy>1)
	{
		if(yy%2!=0) add=(add+now)%p;
		now=(now*2)%p;
		yy/=2;
	}
	return (now+add)%p;
}

代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define Maxn 1000010
 #define INF 0xfffffff
 #define LL long long
 
 LL nk,m[Maxn],ml,K;
 LL n;
 LL prime[Maxn],pl;
 bool q[Maxn];
 LL mn;
 
 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}
 
 void get_pri(LL mx)
 {
     pl=;
     memset(q,,sizeof(q));
     for(LL i=;i<=mx;i++)
     {
         if(q[i]) prime[++pl]=i;
         for(int j=;j<=pl;j++)
         {
             if(i*prime[j]>mx) break;
             q[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j]==) break;
         }
     }
 }
 
 bool div(LL mm)
 {
     for(LL i=;prime[i]*prime[i]<=mm;i++) if(mm%prime[i]==)
     {
         m[++ml]=prime[i];
         mm/=prime[i];
         while(mm%prime[i]==) return ;
     }
     if(mm!=) m[++ml]=mm;
     return ;
 }
 
 bool init()
 {
     ml=;
     scanf("%lld",&nk);
     K=;
     bool ok=;
     for(int i=;i<=nk;i++)
     {
         LL mm;
         scanf("%lld",&mm);K*=mm;
         if(!div(mm)) ok=;
     }
     sort(m+,m++ml);
     for(LL i=;i<=ml;i++) if(m[i]==m[i-]) {ok=;break;}
     scanf("%lld",&n);
     if(!ok) return ;
     return ;
 }
 
 LL f[Maxn];
 
 struct node{LL x,y;};
 node c[Maxn];
 
 node ffind(LL x,LL p)
 {
     node ans;
     if(x<p)
     {
         ans.x=;
         ans.y=f[x];
         return ans;
     }
     ans.x=;ans.y=;
     node t=ffind(x/p,p);
     ans.x+=t.x; ans.y*=t.y;
     ans.y=(ans.y*f[x%p])%p;
     ans.x+=x/p;
 
     LL y=(((x/p)%)==)?:p-;
     ans.y=(ans.y*y)%p;
 
     return ans;
 }
 
 LL mul(LL x,LL y,LL p)
 {
     if(x==||y==) return ;
     LL now=x,yy=y,add=;
     while(yy>)
     {
         if(yy%!=) add=(add+now)%p;
         now=(now*)%p;
         yy/=;
     }
     return (now+add)%p;
 }
 
 LL qpow(LL x,LL b,LL p)
 {
     LL ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=mul(ans,x,p);
         x=mul(x,x,p);
         b>>=;
     }
     return ans;
 }
 
 LL d[Maxn];
 
 LL get_ans()
 {
     mn=c[].x;
     for(LL i=;i<=ml;i++) mn=mymin(mn,c[i].x);
     for(LL i=;i<=ml;i++)
     {
         if(c[i].x>mn) {d[i]=;continue;}
         LL bm=qpow(K/m[i],mn,m[i]);
         bm=qpow(bm,m[i]-,m[i]);
         d[i]=mul(bm,c[i].y,m[i]);//(bm*c[i].y)%m[i];
     }
     LL ans=;
     for(LL i=;i<=ml;i++)
     {
         LL y=qpow(K/m[i],m[i]-,m[i]);
         //ans=(ans+((K/m[i]*y)%K)*d[i])%K;
         ans=(ans+mul(mul(K/m[i],y,K),d[i],K))%K;
     }
     return ans;
 }
 
 int main()
 {
     get_pri();
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         if(!init()) {printf("I hate zero.\n");continue;}
         for(LL i=;i<=ml;i++)
         {
             f[]=;
             for(LL j=;j<m[i];j++) f[j]=(f[j-]*j)%m[i];
             c[i]=ffind(n,(LL)m[i]);
         }
         printf("%lld\n",get_ans());
     }
     return ;
 }

2016-09-04 19:37:26