PAT 1051-1060 题解

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本文谨代表个人思路，欢迎讨论;)

1051. Pop Sequence (25)

题意

给定 stack 的容量，给定数据的入栈顺序：从 1 开始的正整数序列，在允许随机的出栈操作的情况下，要求判断某出栈序列是否可能。

比如，告知 stack 容量为 5，入栈序列的最大值为 7。有两个序列需要判断合理性：

{1 2 3 4 5 6 7}：这个序列是可能的，只需每次入栈时都做出栈操作。
{3 2 1 7 5 6 4}：这个序列是不可能的，其中前半部分 3 2 1 是合法的，先将 1 2 3 顺序入栈，然后三次执行出栈操作。而之后的 7 5 6 则是不可能的。

分析

两种思路：

第 1 种思路：

使用 stl 中的 stack 模拟。判定条件有两条：1.栈中数据量不超过栈的容量；2.出栈只能从栈顶取，不应该出现从固定的堆栈中取出其他数据的情况。

第 2 种思路：

由于入栈序列数据由小到大排列非常特殊，要通过出栈序列判定可能性是存在简便思路的。
对比分析题中 Sample 给出的序列，结合上面提到的两条冲突条件入手分析：

1.栈中数据量不超过栈的容量：

只有在入栈时，才会需要考虑栈中数据是否超量。出栈序列中的每个数，都以为着在出栈操作之前，它刚入栈，
那么当它入栈的时候能否判定是否超过栈容量呢？可以的，（当前的出栈数值 - 已经执行过的出栈操作数量）就是当前栈中元素的数量。
2.出栈只能从栈顶取，不应该出现从固定的堆栈中取出其他数据的情况。

根据观察分析发现，当某数据 m 出栈之后，比 m 小的数据如果在 m 之后出栈的，它们所组成的序列本身需要保持从大到小的顺序排列。
距离如 3 2 1 7 5 6 4 这个序列，在 7 之后有 5 6 4 这个子序列，它们都大于 7，但却没有保持一个递减的顺序，不合法。

更多分析参见博文《出栈序列的可能性判定》

1052. Linked List Sorting (25)

题意

链表的节点被表示为{地址，值，下一个指针地址}，其中如果 NULL 的地址表示为-1，
地址为 5 正数，值的范围为[-10^5, 10^5]。

给定 N(< 10^{5)个节点以及其头指针，要求按照每个节点上值的大小重新排序，并按照链表顺序输出每个节点。}

分析

将链表中的节点按值做 qsort()排序，然后调整每个值的 next 指针即可。需要注意的有：

1.INPUT 中的节点并不保证全是链表中的，先需要过滤掉悬空的节点。
2.head 直接指向-1(NULL)的情况需要特殊处理。

1053. Path of Equal Weight (30)

题意

给定一棵树，有 N( <= 100) 个节点，每个节点有一个权重，另给定一个权重值 S(< 230)。要求找到从根节点出发到叶节点的路径上，所有点权重值和等于 S 的所有情况，并按照逆字典序输出。

分析

使用邻接表的方式构建树，dfs 搜索，由于需要逆字典序输出，处理前需要对每个节点的儿子节点邻接表进行排序，合理剪枝即可。

需要注意的是：结果路径要求以叶子节点结束。

1054. The Dominant Color (20)

题意

给定一个 M(<= 800)*N(<=600)个像素点，每个像素点的范围为 [0, 2^{24]，要求找出其中出现次数超过总数量的一半左右的点，称作} restrict dominant color.

分析

由于条件比较特殊，使用一个计数器count，一个寄存器color就可以实现对超过一半数目的选项的挑选。过程如下：

1.count初始化为 0，color初始化为-1
2.读入新的颜色值newColor，如果newColor跟寄存器的color一样，则计数器count加一。如果不一样，且count不为 0，则count减一；如果不一样，且count 为 0，则寄存器中的color被置为newColor。
3.不断循环 2，直到读入所有颜色值。这时候，寄存器color中存储的就是结果。

这个方法的巧妙之处，在于寄存器和计数器保存了状态，用抵消的思想，最终得到了较多数量的状态。思考时，不妨假设所有颜色值只有两个，一个是超过一半数量的 restrict dominant color，另一个则是少于一半数量的颜色，经过累加和寄存的操作，少于一半的颜色肯定会被多余一般的颜色抵消掉，最后剩下多于一半的颜色。另外，大家不妨想一下，本题的最后，计数器中的值就是 restrict dominant color 超过其他颜色的数量么？

1055. The World’s Richest (25)

题意

福布斯排行榜上，给出了 N(<=10^{5)个人的名单，每个名单包含了不超过} 8 个字符的姓名，(0,200]的年龄以及[-10^{6,10^{6]的财富值。}}

另外，给出了 K(<=10^{3)次查询，以及每次查询要求的结果条数} M(<=100)。每次查询给定一个年龄区间，要求查询出这个区间范围内财富排名前 M 的人的名单。如果财富值相同，按姓名字典序排列。

分析

这道题时间限制比较严格。有两种思路：

第 1 种思路：

1.所有年龄做 qsort()排序；
2.分离到不同年轻的人的数组中，此时每个年龄中，都是排序好的。
3.对于每个查询，从 2 中所得数组里进行归并排序，归并的每次比较过程，使用最大堆实现。

第 2 种思路：

1.所有年龄做排序
2.对排序好的年龄，每个年龄计数减掉 100 名之后的人。
3.然后对待查询轮训过滤即可。

1056. Mice and Rice (25)

题意

分组淘汰赛背景。给出 Np(<=1000)个参赛者，限定每场比赛最多有 Ng(<=1000)个参赛者参加，如果一轮比赛中，组队的过程单出几个人，也将他们组成一次比赛。每场比赛决出一名胜者，参加到下一轮的淘汰赛中，而同一轮的负者都拥有相同的排名，如此循环往复，直到决出第一。

输入数据中还规定了必须依据顺序分组，而初始顺序体重已经给出。

分析

模拟题。用队列存储剩下的参赛队员，每轮比赛做一次循环，直到队列为空。处理一轮比赛时，负者的 rank 等于该轮比赛场次+1.换分组别的时候，需要仔细。

1057. Stack (30)

题意

在 stack 的基础上，增加了一个 PeekMedian 操作定义，要求输出 stack 中所有数据的中间大小的数。

题目给出 N(<=10^5)个对 stack 的顺序操作，要求输出操作结果。其中保证每次操作的值不大于 10^5。

分析

使用 stl 中的 stack 模拟常规栈操作，关键问题在于中位数的读取。由于时间限制比较严格，使用诸如优先队列等方式会超时。考虑到每次的操作数都不超过 10^{5，想到诸如使用} hash 的方式用空间换时间。但即使是开一个int hash[100001]的 hash 表，也只能记录读入的所有数据的次数，无法提供高效的查询操作。实际上，在 hash 方式的前提下，使用树状数组能很好的解决这个问题。（另有一篇详细介绍树状数组的译文:请戳）

对int hash[100001]建立树状数组，然后通过二分的方式，就可方便的查询到 hash 数组中那个坐标下的统计值处于中间位置，这个坐标的值也就是中位数了。

1058. A+B in Hogwarts (20)

题意

给定的数的结构如下：a.b.c，其中 a 的范围是 [0, 10^7]，b 的范围是 [0,17)，c 的范围是 [0,29)。给定两个数，要求计算他们的和。

分析

简单模拟题，有一个坑：题目交代最高位的区间为 [0, 100000000]，但是没说如果两数相加超过这个值怎么办。需要将最高位的结果区间设定为 20000000 以上才 AC。

1059. Prime Factors (25)

题意

给定一个正整数，要求格式化输出它的素因数相乘的形式。

分析

由于时间限制，不可以简单的重复判定素数。可以使用 DP 的思想做素数的判定。

1060. Are They Equal (25)

题意

科学计数法相关背景。假设机器只能存储 3 个有效数字，那么12300和12358.9在机器侠都表达都为0.123*10^5，他们相等。其中有效数字使用简单截尾方式，不进位。

给定两个不大于 10¹⁰⁰ 的非负整数，以及有效位数 N(<=100)，要求计算在对应的精确位数下，两数的表达是否相等。

分析

由于非负整数非常大，不可使用 longlong 甚至精确度不高的 double，当做字符串来处理。

需要注意的一点是对值为 0 的情况的处理。比如 0 在有效位数为 3 下的表达为:0.00*10^0

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