Edward Frenkel关于几何化朗兰兹纲领的采访

本文来自：菲尔兹奖座谈会 博客

Edward Frenkel教授的主要研究方向是数学与量子物理中的对称。他现在在做的许多问题都与朗兰兹纲领有关。他现在是加州大学伯克利分校的数学教授。

在今年的菲尔兹奖座谈会上，Frenkel会主讲朗兰兹纲领的概况。他是向公众普及数学、改善数学映象这一行动的推崇者。

以下他对Richard Cerezo关于朗兰兹计划的一些问题的回答。

问：你会把朗兰兹纲领看作联系数论与数学分析的数学语言的发展吗？

答：是的，实际上它更多地描述的是数论的内容。

问：你能够详细解释一下吗？

答：罗伯特·朗兰兹在1960年代创造朗兰兹纲领的动机，主要就是解决数论中的一些难题。

问：什么样的难题？

假如说我们需要解方程$y^2=x^3+6x+3$,我们需要找解$x,y$,这个解不是实或复的，而是有限域$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中的元素，这里$p$是一个素数。也就是说，你在寻找在整数集合$\{0,1,\cdots,p-1\}$中的元素$x,y$，当你将它们带入时，左边与右边只差$p$的一个整数倍——我们称这个方程在"模$p$"意义下成立。比如，令$p=5$,取$x=1,y=2$,左边等于$4$,而右边等于$9$,两边的差为$5$.所以$x=1,y=2$是在"模$5$"意义下的解。

在数论中还有很多类似的问题。我们想知道的是，比如说，对于任意的素数$p$,在模$p$意义下有多少不同的解。这实际上是一个很难的问题。

朗兰兹的深刻的洞察力发现，解的个数其实可以用另外一个数学领域——调和分析来进行认识。

问：什么是调和分析？

它是对于某些种类的函数的研究。比如说，我们都知道的三角函数（变量为$x$）,$\sin{x},\cos{x}$.我们同样考虑$\sin{(nx)},\cos(nx)$，其中$n$为整数。这个思想可以追溯到19世纪傅立叶的时候。傅立叶发现，任意有周期的函数实际上可以写成这些基本函数的叠加。这是一个了不起的发现！相信我们有一个用函数表达的信号。将它写成三角函数的叠加实际上是将信号分解成了“基本的谐波”。这就是调和分析所做的事情：找到一些基本谐波，如同$\sin(nx),\cos(nx)$,但比这个要来的更广泛。然后找到能把一般函数分解成这些谐波的方法。

这是一个美妙的理论，注意到从这个设定来看，调和分析似乎和数论离得很远。

但是奇迹发生了：朗兰兹猜想到这两个领域：数论以及调和分析是紧密联系在一起的！更准确的说，他猜测数论中的问题，如寻找模$p$的方程解的个数可以用调和分析来解决。比如说，存在一个调和函数，它“知道”任意$p$,某个方程在模$p$意义下解的个数（或者是对于知道有限个$p$的个数，但这只是一个技术上的问题）

这实在是太难以置信了，就像黑魔法一样！这也是为什么人们对朗兰兹纲领如此兴奋：首先，它给了我们一个解决难以对付的问题的想法。然后其次，是由于它给出了关于不同数学领域深刻而基础的联系。所以我们想知道到底发生了什么？为什么会有这样的联系？我们并没有完全理解。

所以这些是朗兰兹纲领的起源。但是人们又发现，同样的事情可以用到不同的数学分支上，比如几何，甚至是量子物理。我前面曾开玩笑道，朗兰兹纲领是数学中的大统一理论。我说这话的意思是，朗兰兹纲领指出了一些普遍的现象，以及在不同领域见这些现象的关系。我相信这能够帮助理解“数学究竟是什么”。

问：你能够更深入地说说为什么朗兰兹纲领是数学的大一统理论？

朗兰兹纲领是一个很广阔的问题，有许多专家工作于此。但正如我刚才所说，朗兰兹纲领的思想已经渗透到许多数学领域中。所以有人钻研数论，或调和分析，或几何，或数学物理研究不同的对象，但是发现了相似的现象。对于我来说，就是研究同样的模式怎么在不同的领域中表现的，从而找到这些领域是怎么联系起来的。

这就像我们有一些来自不同语言的句子，我们知道这些句子说的是一件事。我们把它放在一块，一一对应这些句子的每个单词，最后我们能编出一本翻译不同数学领域的词典。

用其他的话说，我们不把朗兰兹纲领看成数学的“领域”，而是看成“超领域”，因为它横贯整个数学世界。

问：是否有方法更通俗易懂地解释几何朗兰兹纲领？

我尝试着给出一个让人都明白的朗兰兹纲领的解释。这个解释是基于纲领的原始想法的。

当人们提到几何朗兰兹纲领，他们认为是几何中一系列类似的想法。在几何中，除了前面我提到的模$p$代数方程以外，我们还有一些刚开始看上去很不一样的对象：所谓的“黎曼面”。最简单的是球，而然后我们有面包圈曲面（曲面有一个洞），然后又有丹麦酥皮饼（两个洞），等等。为什么这些几何物体与模$p$的方程有关还需要另外复杂的解释，我不会在这里提到。我们只说数学家已经知道并已长时间研究的事情，所以我们相信这个类比是对的。

所以自然的问题就是：另外一边对应的对象是什么？也就是$n$个洞的黎曼曲面对应于调和函数中什么？这个并不显然，只在很后面，1980年代得知，是几个伟大数学家的工作：Deligne(德利涅),Drinfeld(德林费尔德),Laumon(洛蒙)，Beilinson等等。

粗略地说，调和函数里的对象被称为“D-模”。D-模简要来说，是表达偏微分方程系统的数学对象。所以现在朗兰兹联系数论与调和分析的想法变为了连接黎曼面和D-模。这个联系如同原来的朗兰兹猜想一样迷人。

问：在其他类似于菲尔兹奖座谈会的会议上，人们讨论的中心内容是基本引理吗？你和你的合作者是否去试着证过这个结果？

让我先谈谈基本引理。在给出他纲领的时候，朗兰兹给出了如果他的纲领成立，那么必须成立的数学式子。他把这个结果称为“基本引理”。为什么他认为这是引理，而非定理？我猜想他认为这是一个挺简单的事情，人们可以直接一下子证明出来。但是，不巧的是，实际情况并不是他想象的这样。许多数学家试图证明该“引理”，无不以失败告终，直到越南数学家吴宝珠给出了一个漂亮的解答。他的证明利用了全新的几何想法（一些是先前由Goresky, Kottwitz, MacPherson以及Laumon引入的，一些是和吴宝珠本人的工作有关）

当然，人们知道基本引理是朗兰兹计划的核心内容。人们工作很久，并且召开了许多讨论这个引理的会议。但是你必须得了解一些事情。基本引理是在原本的朗兰兹纲领里的，更准确地说，它是调和分析里的理论。所以研究几何朗兰兹纲领的人，比如我，对此并没有多少关注。但是吴宝珠证明的引人注目的一面是它完全是几何的——于此同时，它使用了不少几何朗兰兹纲领的连接对象。所以吴宝珠的工作（除了证明了一个重要的未解决问题外）是将不同领域的数学家联系到了一起。

我们菲尔兹奖座谈会同样证明了这点：我们有不同领域的专家来讨论各种领域：数论，调和分析，几何以及物理。这是吴宝珠所作的工作。这在我眼中很重要。

问：现在已经有许多著名的数学家致力于朗兰兹纲领，它已经吸引了足够的注意。你能给我们继续在这个纲领上工作的理由吗？

我们获取更多知识，那么我们更了解自己的无知。正如我所说的，朗兰兹纲领的美妙之处在于它给出了数学不同分支的神秘联系。在我眼里，最大的问题是，这些联系为什么会出现，在它们背后的机制是什么。我们仍然不知道，但是我们在为此工作。比如说我最近与朗兰兹以及吴宝珠的工作，我们想给出所谓“Arthur-Selberg迹公式”的证明思路，用类似吴宝珠的方法以及几何朗兰兹纲领的思想。吴宝珠的工作使我们的想法更加成熟。我们现在更加了解拼图的几块是如何拼接起来的，但是我们需要新的思想。我希望来到我们座谈会的年轻人，能够对于这个领域感兴趣，他们将给出对于朗兰兹纲领的一次新的革命。