QQ 数（number.pas/c/cpp）——莫比乌斯函数

题目

【问题描述】
企鹅国数学家 QQ 潜心研究数论，终于发现了一个简单的数论问题！
一个 QQ 数定义为一个拥有一个大于 $ 1 $ 的完全平方数为因子的数字，一个数字的 QQ 值定义为这个数是 QQ 数的因数个数。
现在 QQ 想知道在 $[L,R]$ 范围内，每个整数的 QQ 值之和是多少？
你只需要告诉他这个数字，他就可以给你宝贵的 $ 10 $ 分作为一个奖励！
【输入格式】
第一行两个整数 $ L, R $ 代表要求的数字范围；
【输出格式】
输出一个整数表示 `L~R` 里每个数字的 QQ 值之和。
【输入样例】
1 10
【输出样例】
4
【样例说明】
4 的 QQ 值为 1，8 的 QQ 值为 2，9 的 QQ 值为 1。
【数据范围】
对于 $ 10\% $ 的数据，$ R\leq 10^4 $；
对于另外 $ 30\% $ 的数据，$ R\leq 10^6 $；
对于另外 $ 10\% $的数据，$ R \leq 10^7 $；
对于 $ 100\% $的数据，$ 1 \leq L\leq R \leq 10^9 $；

题解

因为 $ \mu(i) $ 含有平方因子的值为0，于是可以巧妙利用这个性质

记 $ [1,n] $ 的值为
$\ \ \ \ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i}[1-\mu(d)] $
$ =\sum_{d=1}^n[1-\mu(d)^2] \lfloor \frac{n}{d} \rfloor $
$ =\sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor - \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \mu(d)^2 $

然后可以发现前面的 $ \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor $ 可以分块，但后面的 $ \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \mu(d)^2 \ n \leq 10^9 $，没有办法预处理

考虑 $ \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \mu(d)^2 $ 的几何意义

$ \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \mu(d)^2 = n- \lfloor \frac{n}{2} \rfloor - \lfloor \frac{n}{3} \rfloor -\lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{6} \rfloor +... $

可以发现当 $ i> \sqrt{n} $ 时 $ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor = 0$

所以只要枚举到 $ \sqrt{n} $ 时即可（其实还是可以分块优化的）

然后就可以在 $ O(\sqrt{n}) $ 完成

再附一种做法：

$ -\sum_{i=2}^{\sqrt{n}}\mu(i)\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i^2 j} \rfloor} \lfloor \frac{n}{i^2 j} \rfloor $ 直接分块即可

代码

 #include<bits/stdc++.h>
 #define LL long long
 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
 using namespace std;
 int R(){
     int x;bool f=;char ch;_(!)if(ch=='-')f=;x=ch^;
     _()x=(x<<)+(x<<)+(ch^);return f?x:-x;}
 const int N=1e7+;
 int p[N],vis[N],mu[N],l,r,tot;
 LL make(int n){
     LL ans=;
     for(int i=;i*i<=n;i++)
         ans+=mu[i]*(n/(i*i));
     return ans;
 }
 LL work(int n){
     LL ans=,res=;
     for(int i=,l;i<=n;i=l+)
         l=n/(n/i),ans+=(n/i)*(l-i+);
     for(int i=,l;i<=n;i=l+)
         l=n/(n/i),res+=(n/i)*(make(l)-make(i-));
     return ans-res;
 }
 int main(){
     mu[]=;
     for(int i=;i<N;i++){
         if(!vis[i])p[++tot]=i,mu[i]=-;
         for(int j=;j<=tot&&p[j]*i<N;j++){
             vis[i*p[j]]=;
             if(i%p[j]==)break;
             mu[i*p[j]]=-mu[i];
         }
     }
     l=R(),r=R();
     printf("%lld\n",work(r)-work(l-));
     return ;
 }

2019-03-20