[HAOI2010]计数 数位DP+组合数

题面：

你有一组非零数字（不一定唯一），你可以在其中插入任意个0，这样就可以产生无限个数。比如说给定{1,2},那么可以生成数字12,21,102,120,201,210,1002,1020,等等。

现在给定一个数，问在这个数之前有多少个数。（注意这个数不会有前导0）.

样例输入：1020     样例输出：7

题解：

刚看到这道题的时候有点懵，，，，，

其实仔细观察一下发现这题可以用组合做。

注意到0的个数是不限的，

而且如果位数小于给定n的话，肯定可以随便搭配，

所以直接加上给定数的有效位+补全的0的全排列就好了，（全排列注意不能重复）

有效位指的是不为0的位，

这样虽然有前导0，但是可以看做是位数少的数，比如

0012,0120分别可以看做12和120，

这样不仅不用去掉前导0，还可以只用加一次，非常方便

因此我们要求就只剩下位数相同的方案了，

这就要用到数位DP了

我们从前往后枚举，因为如果确定的当前位小于给定n的当前位的话，

由于是从前往后枚举，只要当前位小了，后面的位不管怎么排列都是小于n的，

因此我们加上去掉已经被确定的数后的全排列（全排列不能重复）就可以了，

如果当前位相同，那方案数就要放在后面求（注意每确定一位都要在有的数集合中减去它）

注意在第一位的时候不要枚举0就可以了

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define R register int
 #define AC 60
 
 #define LL long long
 LL len,ans,tot;
 int num[AC],have[AC],use[AC];
 /*第i位是什么，在哪里?
 设给定n的位数为len,那么位数小于len的显然可以随意组合，
 于是利用有效位组合计算。
 位数大于len的显然不合法
 所以只要计算位数等于len的即可，
 假设n的第i位不为0，那么如果用比第i位小的数摆在第i位上，
 这个数就肯定比n小了，所以后面就可以随意搭配了
 所以利用组合来算？
 之前只想到位数小于len的可以组合算，
 原来确定了前面的后面也可以组合算啊(废话),
 如果g[i]表示i位数，自由组合的合法方案,i>=有效位
 则g[i] = i! - (i-1)!
 看上去怎么这么玄啊。。。。
 果然是错的，，，因为如果有效位中有重复的话，这一部分就会被重复计算，
 比如26637，那么对于每一种合法排列，都会计算2次，因为6可以交换
 所以要去重，如果数i的出现次数为have[i],那么它会使得整个数列被多计算have[i]!次，
 同理，拓展到所有数，整个数列会被多计算have[i]! * have[i+1]! + .......
 因此设f[i]表示长度为i时的排列（无重复，有前导零）
 g[i]表示长度为i时的排列（无重复，无前导零）
 那么g[i] = f[i] - f[i-1];//相当于确定了第1位是0时，就必然有前导零了.
 设比当前位i大的数有k位，
 那么ans += k * newf[n-i];
 因为这时前几位已经确定，所以have和tot都变了，因此要用newf，而不是f
 因此可以发现，前面求的g和f到后面根本就没有用，所以还是不要求了，，，，，
 直接算就好了
 ans += tot!/have[1]! * have[2]!.....
 */
 void pre()
 {
     char c=getchar();
     while(c > '' || c < '') c=getchar();
     while(c >= '' && c <= '')
     {
         num[++len]=c - '',c=getchar();
         if(num[len] != ) ++have[num[len]],++tot;//统计有效位
     }//读入
     have[]=len - tot - ;//获取0的个数
     if(!tot)
     {
         printf("0\n");
         exit();
     }
 }
 
 LL cal(int cnt)
 {
     LL tmp=;
 /*    for(R i=1;i<=9;i++) tmp+=have[i],use[i]=have[i];
     use[0]=cnt - tmp;//获取0的个数，因为work中获取了，所以不用再次获取*/
     for(R i=;i<=;i++) use[i] = have[i];
     tmp=;
     for(R i=;i<=cnt;i++)
     {
         tmp*=i;
         for(R j=;j<=;j++)
         {
             if(use[j] <= ) continue;
             while(!(tmp % use[j]))
             {
                 tmp /= use[j];
                 --use[j];
                 if(use[j] == ) break;
             }
         }
     }
     return tmp;
 }
 
 void work()
 {
     LL tmp;
     have[]++;//把之前为了计算小于len位的答案而减掉的0加回来
     for(R i=;i<=len;i++)
     {
         tmp=;
         for(R j=;j<=;j++) tmp+=have[j];
         have[]=(len - i + ) - tmp;//获取0的个数
         int b=(i == );//因为第一位不能用0代替
         for(R j=b;j<num[i];j++)//枚举放哪个,但只能尝试比当前位小的，且这样还可以保证不重复
         {
             if(!have[j]) continue;//没有就不能放
             --have[j];//先减掉
             /*if(i == 1)//error!!!但是只要第一个不是0的话，，，，后面的就不是前导零啊，，，有什么关系。。。。
             {//求g值，如果第一个是0的话，其他的have不会变，have[0]又是临时求的，所以没关系
                 ans += cal(len - i);
                 --have[0];
                 ans -= cal(len - i -1);
                 ++have[0];
             }*/
             ans+=cal(len - i);//只有第一位才不能有前导0，，，，
             ++have[j];
         }
         if(num[i]) have[num[i]]--;//假设这一位也相同，那么就要减掉,0的时候不用减，因为0是临时算的(不过应该也可以不临时算？)
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }
 
 int main()
 {
 //    freopen("in.in","r",stdin);
     pre();
     if(len -  >= tot) ans+=cal(len-);//这样会有前导零，但可以看做是位数不同
     work();
 //    fclose(stdin);
     return ;
 }