MT【227】换钱的总数

(2012复旦)将1张面值100元的人民币全部换成面值1角,2角,5角的人民币,不同的换法有多少种?

解:即求不等式$2x+5y\le1000$的所有非负整数解的个数.由匹克公式:$S=a+\dfrac{1}{2}b-1$
(其中$a$为多边形内部点个数,$b$为边界点的个数)
容易知道:$S=50000,b=800$故$a+b=S+\dfrac{1}{2}b+1=50401$
注意构造母函数$(1+x+x^2+\cdots)(1+x^2+x^4+\cdots)(1+x^5+x^{10}+\cdots)$考察$x^{1000}$前的系数也可以尝试.
(如果100元改为2元,或者5元用母函数操作可操作性强点,对应的答案分别为29,146)